z^4 = -16 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung [mm] z^4 [/mm] = -16 und zeichnen Sie die netsprechenden Punkte in der komplexen Ebene |
Also durch logisches denken komme ich auf die Lösung:
[mm] 2\wurzel{i} [/mm] und [mm] -2\wurzel{i}
[/mm]
oder irre ich mich selbst hier?
wie dem auch sei. Wie bestimme ich z rechnerisch?
Ich habs grade mit der Polarkoordinatendarstellung versucht und den Betrag und das Argument der beiden zahlen gleichgestellt. Aber ich habe wirklich keine Idee wie ich dadurch, oder wodurch auch immer auf [mm] 2\wurzel{i} [/mm] kommen soll
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> Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung [mm]z^4[/mm] =
> -16 und zeichnen Sie die netsprechenden Punkte in der
> komplexen Ebene
> Also durch logisches denken komme ich auf die Lösung:
>
> [mm]2\wurzel{i}[/mm] und [mm]-2\wurzel{i}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> oder irre ich mich selbst hier?
> wie dem auch sei. Wie bestimme ich z rechnerisch?
>
> Ich habs grade mit der Polarkoordinatendarstellung versucht
> und den Betrag und das Argument der beiden zahlen
> gleichgestellt. Aber ich habe wirklich keine Idee wie ich
> dadurch, oder wodurch auch immer auf [mm]2\wurzel{i}[/mm] kommen
> soll
nach dem satz von moivre ergibt sich ja (siehe wiki:)
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln
gruß tee
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Das kannst du auch recht schnell selbst ausrechnen - nur auf deine Darstellung [mm] \wurzel{i} [/mm] wirst du dabei verzichten "müssen":
Ansatz: [mm]z = r*e^{i \phi} [/mm]
Gibt:
[mm]r^{4}*e^{4i \phi} = -16 [/mm]
Jetzt die sin/cos Definition einsetzen, Koeffizientenvergleich und schon bekommst du selbst per Hand ausgerechnet die vierten Einheitswurzeln heraus. Die Darstellung mit Im/Re ist dann [mm]x_{1,2,3,4} = \pm \wurzel{2} \pm i*\wurzel{2} [/mm]
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Do 30.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das kannst du auch recht schnell selbst ausrechnen - nur
> auf deine Darstellung [mm]\wurzel{i}[/mm] wirst du dabei verzichten
> "müssen":
>
> Ansatz: [mm]z = r*e^{i \phi}[/mm]
>
> Gibt:
>
> [mm]r^{4}*e^{4i \phi} = -16[/mm]
>
> Jetzt die sin/cos Definition einsetzen,
der Ansatz ist der beste, aber warum die Sinus-/Kosinus-Definition benutzen? Viel schöner finde ich hier, mit [mm] $z=re^{i\phi}= |z|e^{i\phi}$ [/mm] den Ansatz
[mm] $$z^4=-16$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (\star)\;\;\;|z|^4*(e^{i\phi})^4=-16\,,$$
[/mm]
wobei aus
[mm] $$z^4=-16$$
[/mm]
ja eh schon direkt
[mm] $$|z^4|=|z|^4=|-16|=16\,,$$
[/mm]
also [mm] $|z|=\sqrt[4]{16}=2\,$ [/mm] folgt.
Daher
[mm] $$(\star) \gdw |z|^4e^{i(4\phi)}=-16$$
[/mm]
[mm] $$\gdw e^{i(4\phi)}=-1\,,$$
[/mm]
also für $4 [mm] \phi \in [0,2\pi)$ [/mm] dann
[mm] $$\phi \in \left\{\frac{2}{8}\pi, \frac{6}{8}\pi, \frac{10}{8}\pi, \frac{14}{8}\pi\right\}\equiv\{\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4\}$$
[/mm]
also
[mm] $$z_i=2*e^{i\phi_k}\;\;\; [/mm] (k=1,2,3,4)$$
folgt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Do 30.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung [mm]z^4[/mm] =
> -16 und zeichnen Sie die netsprechenden Punkte in der
> komplexen Ebene
> Also durch logisches denken komme ich auf die Lösung:
>
> [mm]2\wurzel{i}[/mm] und [mm]-2\wurzel{i}[/mm]
>
> oder irre ich mich selbst hier?
> wie dem auch sei. Wie bestimme ich z rechnerisch?
>
> Ich habs grade mit der Polarkoordinatendarstellung versucht
> und den Betrag und das Argument der beiden zahlen
> gleichgestellt. Aber ich habe wirklich keine Idee wie ich
> dadurch, oder wodurch auch immer auf [mm]2\wurzel{i}[/mm] kommen
> soll
"schlimmstenfalls" (das heißt durch pures stupides ausrechnen durch einsetzen) machst Du einfach mal den Ansatz:
Jede Lösung $z [mm] \in \IC$ [/mm] der Gleichung [mm] $z^4=-16$ [/mm] hat eine Darstellung
$$z=x+iy$$
mit je einem $x,y [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Daher machst Du einfach den Ansatz
[mm] $$z^4=-16$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x+iy)^4=-16\,,$$
[/mm]
und die linke Seite kannst Du nun mit der binomischen Formel ausrechnen und nach Real- und Imaginärteil sortieren (danach dann den Realteil=-16 und den Imaginärteil =0 setzen), und dann weiterrechnen.
Alternativ geht es in der Tat auch so, wie Du angefangen hast:
Die Gleichung
[mm] $$z^4=-16$$
[/mm]
ist wegen
[mm] $$z^4+16=0$$ [/mm]
[mm] $$\gdw (z^2+(i*4))*(z^2-(i*4))=0$$
[/mm]
äquivalent zu
[mm] $$z^2=i*4 \text{ oder }z^2=-i*4\,.$$
[/mm]
Die letzten beiden Gleichungen haben "jeweils die Lösungen"
[mm] $$z=2\sqrt{i}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$z=-2\sqrt{i}\,.$$
[/mm]
Denn hier ist zu beachten, dass man mit [mm] $w=\sqrt{i}$ [/mm] eigentlich nur die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $$w^2=i$$
[/mm]
umschreibt. D.h. im Gegensatz zum reellen ist durch [mm] $w=\sqrt{i}$ [/mm] keine eindeutige komplexe Zahl bestimmt, vielmehr könnte man vielleicht von einer Lösungsmenge oder einer Äquivalenzklasse sprechen. (Letzteres müsste man dann präzisieren, in welchem Sinne da eine Äquivalenzklasse vorliegt.)
Deswegen ist es an dieser Stelle sinnvoll, sich mal die Lösungsmenge [mm] $\IL=\IL_{(w^2=i)}$ [/mm] von
[mm] $$w=\sqrt{i} \gdw w^2=i$$
[/mm]
in den komplexen Zahlen $w [mm] \in \IC$ [/mm] anzugucken. Setzt man da nun
[mm] $$w=a+ib\,,$$
[/mm]
so folgt
[mm] $$w^2=i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (a^2-b^2)+i(2ab)\,,$$
[/mm]
und damit errechnet man wegen
[mm] $$a^2-b^2=0$$
[/mm]
und
$$2ab=1$$
nun
[mm] $$\IL_{(w^2=i)}=\left\{w:\; w \in \IC \text{ und }w=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\}\,,$$
[/mm]
ferner gilt
[mm] $$\IL_{(w^2=-i)}=\left\{w:\; w \in \IC \text{ und }w=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\}\,,$$
[/mm]
so dass die Lösungsmenge [mm] $\IL_{(z^4=-16)}$ [/mm] gerade
[mm] $$=\left\{2\sqrt{i}\right\} \cup \{-2 \sqrt{i}\}=\{\pm (\sqrt{2}+i*\sqrt{2})\} \cup \{\pm(\sqrt{2}-i*\sqrt{2})\}\,.$$
[/mm]
P.S.:
Übrigens hätte man durchaus auch beginnen können mit
[mm] $$z^4=-16$$
[/mm]
[mm] $$\gdw z^4=-(2^4)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (z/2)^4=-1\,.$$
[/mm]
Aber auch das ist wieder nur eine Alternative, bei der man letztendlich ähnlich wie bei den anderen vorgeschlagenen Rechenwegen weiter verfährt...
P.S.: Zur Zeichnung:
Die Lösungen findest Du alle in der Gaußschen Zahlenebene auf dem (Rand des) Kreis(es) mit Radius [mm] $\sqrt{2}\,.$ [/mm] Konkret musst Du sie einfach im [mm] $360^o/4=90^o$-Abstand, [/mm] beginnend beim Punkt [mm] $(\sqrt{2},\sqrt{2})=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, [/mm] abtragen - also genauer:
Bei 45°, dann bei 135°, dann bei 225° und dann bei 315° auf diesem Kreis abtragen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 So 02.01.2011 | | Autor: | Mammutbaum |
Oke, hab ich soweit nachvollzogen :)
Danke für die umfangreichen Erklärungen!
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