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Hi, habe eine Aufgabe:
Sei V ein [mm] \IR- [/mm] Vektorraum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3 und U der [mm] \IR- [/mm] Unterraum von V, welcher von den Polynomen [mm] 2x^{3}-2x^{2}-x-1, x^{3}-x^{2}-x [/mm] erzeugt wird. Seien [mm] B1={1,x,x^{2},x^{3}} [/mm] und [mm] B2={x^{3}+1, x^{3}+x, x^{3}+x^{2},x^{3}+x+1}. [/mm] Dann ist B1 eine Basis von V.
i) Zeige, dass B2 eine Basis von V ist.
ii) Seien W1 [mm] \subset \IR^{4}, [/mm] bzw. W2 [mm] \subset \IR^{4} [/mm] die Menge aller Koordinatenvektoren von Elementen aus U bzgl. B1 bzw. B2. Bestimme jeweils eine 4x4 Matrix, deren Kern W1 bzw. W2 ist.
Meine Lösung:
i) z.z. : B2 ist EZS : Sei v [mm] \in [/mm] V: [mm] v=a(x^{3}+1)+b( x^{3}+x)+ c(x^{3}+x^{2})+d(x^{3}+x+1)
[/mm]
= [mm] (a+b+c+d)*x^{3}+c*x^{2}+(b+d)*x+(a+d)*1 [/mm] also ist B2 EZS.
z.z. B2 ist lin. unabh. : [mm] a(x^{3}+1)+b( x^{3}+x)+ c(x^{3}+x^{2})+d(x^{3}+x+1)=0
[/mm]
= [mm] (a+b+c+d)*x^{3}+c*x^{2}+(b+d)*x+(a+d)*1=0
[/mm]
da [mm] 1,x,x^{2},x^{3} [/mm] lin. unabh. sind folgt
a+b+c+d=0
b=0
b+d=0
a+d=0 daraus folgt a=b=c=d=0 -> B2 ist Basis.
Stimmt das so weit??
b) Hier weiß ich gar nicht wie ich das machen soll.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Lg
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Hallo,
nur kurz zu i)
> Hi, habe eine Aufgabe:
> Sei V ein [mm]\IR-[/mm] Vektorraum aller Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3
> und U der [mm]\IR-[/mm] Unterraum von V, welcher von den Polynomen
> [mm]2x^{3}-2x^{2}-x-1, x^{3}-x^{2}-x[/mm] erzeugt wird. Seien
> [mm]B1={1,x,x^{2},x^{3}}[/mm] und [mm]B2={x^{3}+1, x^{3}+x, x^{3}+x^{2},x^{3}+x+1}.[/mm]
> Dann ist B1 eine Basis von V.
> i) Zeige, dass B2 eine Basis von V ist.
> ii) Seien W1 [mm]\subset \IR^{4},[/mm] bzw. W2 [mm]\subset \IR^{4}[/mm]
> die Menge aller Koordinatenvektoren von Elementen aus U
> bzgl. B1 bzw. B2. Bestimme jeweils eine 4x4 Matrix, deren
> Kern W1 bzw. W2 ist.
>
> Meine Lösung:
>
> i) z.z. : B2 ist EZS : Sei v [mm]\in[/mm] V: [mm]v=a(x^{3}+1)+b( x^{3}+x)+ c(x^{3}+x^{2})+d(x^{3}+x+1)[/mm]
>
> = [mm](a+b+c+d)*x^{3}+c*x^{2}+(b+d)*x+(a+d)*1[/mm] also ist B2 EZS.
Wieso?
Ein bel. Vektor [mm]v\in V[/mm] hat doch die Gestalt [mm]v=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
Das musst du als LK der vermeintlichen Basisvektoren darstellen, also
[mm]ax^3+bx^2+cx+d=\lambda_1(x^3+1)+\lambda_2(x^3+x)+\lambda_3(x^3+x^2)+\lambda_4(x^3+x+1)[/mm]
Sortiere rechterhand nach Potenzen von x, führe einen Koeffizientenvergleich durch und bestimme so die [mm]\lambda_i[/mm] in Abh. von [mm]a,b,c,d[/mm]
> z.z. B2 ist lin. unabh. : [mm]a(x^{3}+1)+b( x^{3}+x)+ c(x^{3}+x^{2})+d(x^{3}+x+1)=0[/mm]
>
> = [mm](a+b+c+d)*x^{3}+c*x^{2}+(b+d)*x+(a+d)*1=0[/mm]
> da [mm]1,x,x^{2},x^{3}[/mm] lin. unabh. sind folgt
> a+b+c+d=0
> b=0
Das muss [mm]\red{c=0}[/mm] lauten
> b+d=0
> a+d=0 daraus folgt a=b=c=d=0
Das musst du ja erstmal vorrechnen ...
> -> B2 ist Basis.
> Stimmt das so weit??
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 15.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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