x,y reelle Zahlen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Fr 02.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
| Aufgabe | Seien x,y [mm] \ge [/mm] 0 reelle Zahlen, [mm] n\in\IN. [/mm] Zeigen Sie:
(a) [mm] \wurzel[n]{x+y} \le \wurzel[n]{x} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y};
[/mm]
(b) [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|}; [/mm] |
Hat irgendjemand von euch schon einmal so eine ähnliche Aufgabe gelöst und könnte mir verraten, wie ich vorgehen könnte? Lieben Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo blueeyes!
Nehme die Ungleichung "hoch $n_$" und wende anschließend auf der rechten Seite den Binomialsatz an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mo 05.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
ok,ich versuchs einmal:
(a)
[mm] \wurzel[n]{x+y}\le \wurzel[n]{x} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y} [/mm] |mit n quadrieren
--> [mm] x+y\le (\wurzel[n]{x} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y})^n
[/mm]
--> x+y [mm] \le [/mm] x + 2xy + y
--> 0 [mm] \le [/mm] 2xy
ist ne wahre Aussage,da ja x und y größer 0 sein müssen und deren Produkt dann erst recht.
(b)
[mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|} [/mm] |mit n quadrieren
--> |x+ [mm] 2\wurzel[n]{xy}+y| \le [/mm] |x-y|
wie kann man dieses hier noch weiter umformen?
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Hallo blueeyes,
da stimmt aber einiges nicht...
> ok,ich versuchs einmal:
>
> (a)
>
> [mm]\wurzel[n]{x+y}\le \wurzel[n]{x}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y}[/mm] |mit n
> quadrieren
> --> [mm]x+y\le (\wurzel[n]{x}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y})^n[/mm]
> --> x+y [mm] \lex [/mm] + 2xy + y ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> --> 0 [mm]\le[/mm] 2xy
> ist ne wahre Aussage,da ja x und y größer 0 sein müssen und
> deren Produkt dann erst recht.
Du musst den binomischen Satz benutzen: [mm] $(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\pmat{n\\k}\cdot{}a^{n-k}\cdot{}b^k$
[/mm]
Also hier für die rechte Seite [mm] $\left(\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{y}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\pmat{n\\k}\cdot{}\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n-k}\cdot{}\left(\sqrt[n]{y}\right)^{k}$
[/mm]
[mm] $=\pmat{n\\0}\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}\cdot{}\left(\sqrt[n]{y}\right)^{0}+\pmat{n\\1}\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n-1}\cdot{}\left(\sqrt[n]{y}\right)^{1}+....+\pmat{n\\n-1}\left(\sqrt[n]{x}\right)^{1}\cdot{}\left(\sqrt[n]{y}\right)^{n-1}+\pmat{n\\n}\left(\sqrt[n]{x}\right)^{0}\cdot{}\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}$
[/mm]
[mm] $=x+\underbrace{n\cdot{}\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n-1}\cdot{}\left(\sqrt[n]{y}\right)^{1}+...+n\cdot{}\sqrt[n]{x}\cdot{}\left(\sqrt[n]{y}\right)^{n-1}}_{\ge 0}+y$
[/mm]
[mm] $\ge [/mm] x+y$
> (b)
>
> [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm]
> |mit n quadrieren
> --> |x+ [mm]2\wurzel[n]{xy}+y| \le[/mm] |x-y|
das ist auch falsch potenziert - s.o.
>
> wie kann man dieses hier noch weiter umformen?
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:09 Mo 05.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
mist, an der stelle die du mir falsch angezeigt hattest,hat ich mich nur vertippt:
[mm] (x+y)\le(\wurzel[n]{x}+\wurzel[n]{y})
[/mm]
[mm] x+y\le [/mm] x+2xy+y
[mm] 0\le2xy [/mm]
kann man dies nicht so schreiben? muss man unbedingt diesen binomischen satz anwenden? eine wahre aussage würde ja so rauskommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Mo 05.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst hoch n mehmen, du quadrierst, also hoch2! das geht nicht links hoch n rechts hoch 2 deshalb ist das falsch und du musst wirklich auch rechts hoch n rechnen.
Gruss leduart
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noch zu b)
dort verfahre ich doch genauso wie in aufgabe a) nur unter beachtung der beträge und muss daran denken,dass y nicht positiv,sondern negativ ist,ja?
Hab ich das so richtig verstanden? Sodass [mm] \le(x+y) [/mm] zum schluss herauskommt,oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du nicht gesagt hast, wie du a) gelöst hast, keine Ahnung, ob b) ähnlich geht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Di 06.11.2007 | | Autor: | H8U |
man muss eine fallunterscheidung machen bei b). is nich so einfach wie bei a).
jedoch weiß ich auch nicht genau, wie man da heran gehen könnte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 09.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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