x*sin(1/x) differenzierbar ? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die Funktion:
x*sin(1/x) fuer x [mm] \not=0
[/mm]
f(x) =
0 fuer x = 0
in x0 + 0 differenzierbar ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi,
also , ich hab mir den differenzenquotionen von f(x) fuer x von links an der null und x fuer rechts an die null angeschaut und komme beidesmal dabei auf den limes von sin(1/x) fuer x gegen 0.
so jetzt habe ich aber keine ahnung wie ich weitermachen soll, mein matheprof hat gemeint ich muss noch beweisen, dass der sin(1/x) fuer x -> 0 divergiert bevor ich sagen kann, dass f(x) an x0 nicht differenzierbar ist. koennt ihr mir helfen, wie ich das beweisen kann ?
ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Di 29.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Wie sieht der Graph von sin(1/x) in der Nähe von 0 aus? Da kann man doch bestimmt zwei Folgen [mm] $x_n$,$\tilde{x}_n$ [/mm] basteln, sodass [mm] $\lim_{n\to\infty}sin\frac{1}{x_n}\ne\lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{\tilde{x}_n}$ [/mm] ist...
Gruß, Robert
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hm und wie mache ich dann weiter ? ich bin auf dem gebiet noch der totale neuanfänger, wir haben mit analysis dieses semester erst richtig begonnen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 29.04.2008 | | Autor: | fred97 |
finde eine Nullfolge x(n) mit:
(sin(1/x(n))) = (1, -1, 1, -1, ......)
Gruß Fred
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und damit beweise ich dann, dass der sinus divergiert ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Di 29.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> und damit beweise ich dann, dass der sinus divergiert ?
Ja, denn nach Definition ist ja [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)=a\gdw\forall(x_n)\subset I\setminus\{x_0\}:\lim_{n\to\infty}x_n=x_0:\lim_{n\to\infty}f(x_n)=a$ [/mm] (wobei $I$ eine Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] ist). D.h. für jede Folge, die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert, konvergieren die Funktionswerte der Folgenglieder gegen $a$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Di 29.04.2008 | | Autor: | konvex |
Hallo,
Hast du dir vielleicht schonmal die Reihe vom sinus angeschaut?
sin(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^5}{5!} [/mm] - ...
Das is ja die Taylorreihenentwicklung um x=0, kannst du bei wikipedia.de ja nochmal nachschauen.
bei der Reihe sieht man ja, dass die einzelnen Nenner gegen [mm] \infty [/mm] gehen und für [mm] x\rightarrow [/mm] 0 ebenfalls gegen Null, dh. hier hast du ja lauter Nullfolgen drin...
und dann beachtest du noch die rechenregeln vom limes, dh.
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} (\bruch{x}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^5}{5!}-...) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x}{1!} [/mm] - [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^3}{3!} [/mm] + [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^5}{5!} [/mm] - ...
also die oben angegebene reihe ist ja für sin(x), also stellst du am besten die reihe für [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] auf und lässt dann [mm] x\rightarrow [/mm] 0 gehen.
aprospros wenn [mm] x\rightarrow [/mm] 0 geht heißt das konvergent, divergent für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] (siehe deine 1.frage  )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Hast du dir vielleicht schonmal die Reihe vom sinus
> angeschaut?
>
> sin(x)= [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = [mm]\bruch{x}{1!}[/mm] - [mm]\bruch{x^3}{3!}[/mm] + [mm]\bruch{x^5}{5!}[/mm] - ...
>
> Das is ja die Taylorreihenentwicklung um x=0, kannst du bei
> wikipedia.de ja nochmal nachschauen.
>
> bei der Reihe sieht man ja, dass die einzelnen Nenner gegen
> [mm]\infty[/mm] gehen und für [mm]x\rightarrow[/mm] 0 ebenfalls gegen Null,
> dh. hier hast du ja lauter Nullfolgen drin...
ja, hier geht es um den [mm] $\sin(x)$. [/mm] Und wenn dort für ein $x$ die Folge der Summanden keine Nullfolge wäre, hätte man schon ein Problem, weil dann die Reihe, die zu [mm] $\sin(x)$ [/mm] gehörte, divergent wäre.
>
> und dann beachtest du noch die rechenregeln vom limes, dh.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} (\bruch{x}{1!}[/mm] - [mm]\bruch{x^3}{3!}[/mm] +
> [mm]\bruch{x^5}{5!}-...)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x}{1!}[/mm]
> - [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^3}{3!}[/mm] +
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^5}{5!}[/mm] - ...
Um Gottes Willen. Für endlich viele, also meinetwegen $m$ an der Zahl (das $m$ ist einmal gewählt und bleibt dann fest), konvergente Folgen [mm] $(a_n^{(k)})_n$ [/mm] mit [mm] $a_n^{(k)} \to a^{(k)}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (für $k=1,...,m$) gilt die Regel:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \sum_{k=1}^m a_n^{(k)}=\sum_{k=1}^m \limes_{n \to \infty} a_n^{(k)}=\sum_{k=1}^m a^{(k)}$
[/mm]
Diese Regel darfst Du keinesfalls ohne weiteres einfach so auf eine Reihe anwenden. (Unter gewissen Voraussetzungen darf man das zwar, aber i.a. geht das nicht.)
Wenn Du das mal ordentlich aufschreibst mit [mm] $\sum_{k=1}^\infty...=\limes_{m \to \infty}\sum_{k=1}^m [/mm] ...$, erkennst Du das vielleicht besser:
Seien nun [mm] $(a_n^{(k)})_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $a^{(k)}$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Es gilt (formal)
[mm] $(\star)$ $\limes_{n \to \infty} \sum_{k=1}^\infty a_n^{(k)}=\limes_{n \to \infty}\limes_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m a_n^{(k)}$
[/mm]
während
[mm] $(\star_2)$ $\sum_{k=1}^\infty \limes_{n \to \infty} a_n^{(k)}=\limes_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m \limes_{n \to \infty} a_n^{(k)}=\limes_{m \to \infty} \limes_{n \to \infty} \sum_{k=1}^m a_n^{(k)}$
[/mm]
ist. Die Gleichheit von [mm] $(\star)$ [/mm] und [mm] $(\star_2)$ [/mm] ist daher nicht offensichtlich. Sie folgt zum Beispiel, wenn man bei [mm] $(\star)$ [/mm] (unter geeigneten Voraussetzungen) weiß, dass dort [mm] $\limes_{m \to \infty}\limes_{n \to \infty} S(m,n)=\limes_{n \to \infty} \limes_{m \to \infty}S(m,n)$ [/mm] gelten würde (wobei [mm] $S(m,n):=\sum_{k=1}^m a_n^{(k)}$)...
[/mm]
(Das "Reinziehen des Limes in die Reihe" ist ja nichts anderes als dort das Vertauschen dieser beiden Limites [mm] $\limes_{m \to \infty}\limes_{n \to \infty}$ [/mm] gegeneinander.)
Und ein offensichtliches Beispiel, dass das i.a. nicht geht, zeige ich Dir auch gerne:
[mm] $\limes_{x \to 0^+} \sum_{k=1}^\infty \frac{x}{k}=\infty$, [/mm] da für jedes $x > 0$:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{x}{k}=\infty$
[/mm]
Nach Deiner "Regel" müsste dies aber
[mm] $=\sum_{k=1}^\infty \limes_{x \to 0^+}\frac{x}{k}=\sum_{k=1}^\infty [/mm] 0=0$
sein, also [mm] $\infty=0$.
[/mm]
Bitte achte darauf, wie die Sätze formuliert sind und dass das im Beweis auch eingeht. Das wirst Du später auch noch öfter brauchen, nämlich, wenn man z.B. ein Argument braucht, warum man "die Differentiation unter die Reihe" ziehen darf (das ist z.B. bei Potenzreihen innerhalb des Konvergenzradius möglich, der Beweis dazu ist aber keine Banalität) etc....
> also die oben angegebene reihe ist ja für sin(x), also
> stellst du am besten die reihe für [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] auf
> und lässt dann [mm]x\rightarrow[/mm] 0 gehen.
Ich glaube nicht, dass das einfacher wird.
> aprospros wenn [mm]x\rightarrow[/mm] 0 geht heißt das konvergent,
> divergent für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] (siehe deine 1.frage )
Nein. Er hat gesagt, dass er folgendes seinem Prof. quasi schon gesagt hat:
[mm] $\limes_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\limes_{h \to 0}\sin\left(\frac{1}{h}\right)$, [/mm]
wenn denn der letzte Limes rechterhand denn existiert. Er soll aber zeigen, dass der letzte Limes nicht existiert, also, dass
[mm] $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$ nicht konvergiert, also
die Divergenz von [mm] $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$.
Sein Sprachgebrauch ist absolut korrekt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist die Funktion:
> x*sin(1/x) fuer x [mm]\not=0[/mm]
> f(x) =
> 0 fuer x = 0
>
> in x0 + 0 differenzierbar ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hi,
> also , ich hab mir den differenzenquotionen von f(x) fuer
> x von links an der null und x fuer rechts an die null
> angeschaut und komme beidesmal dabei auf den limes von
> sin(1/x) fuer x gegen 0.
> so jetzt habe ich aber keine ahnung wie ich weitermachen
> soll, mein matheprof hat gemeint ich muss noch beweisen,
> dass der sin(1/x) fuer x -> 0 divergiert bevor ich sagen
> kann, dass f(x) an x0 nicht differenzierbar ist. koennt ihr
> mir helfen, wie ich das beweisen kann ?
> ciao
es reicht hier vollkommen aus, zu zeigen, dass die Funktion nicht rechtseitig diff'bar ist. Um das einzusehen:
Betrachte [mm] $x_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*2\pi}$ [/mm] und [mm] $y_n:=\frac{1}{\pi+n*2\pi}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Was gilt zunächst für die Folgen [mm] $(x_n)_n$, $(y_n)_n$? [/mm] Es sind Folgen in [mm] $(0,\infty)$, [/mm] die bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen .... (?) konvergieren.
Was gilt für [mm] $\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n}$? [/mm] Was gilt für [mm] $\frac{f(y_n)-f(0)}{y_n}$?
[/mm]
Was bedeutet das?
P.S.:
Zu der Konstruktion der Folgen [mm] $(x_n)_n$, $(y_n)_n$:
[/mm]
Schau Dir mal den Graphen von obiger Funktion an und überlege, dass ich dort im Prinzip nichts anders mache, wie folgendes:
Ich "setze" mich bei den [mm] $x_n$ [/mm] (rechts von $(0,0$) mit $x > 0$ genügend nahe bei $0$) auf die Maximalpunkte von [mm] $\mbox{graph}(f)$ [/mm] und schau' mit dort die "zugehörigen Steigungen" an (zwischen $(0,0)$ und dem Extrempunkt, auf dem ich gerade sitze; beachte: $(0,0) [mm] \in \mbox{graph}(f)$).
[/mm]
(Lass' Dir mal den Graphen von $f$ und von $g(x)=x$ plotten, dann wird's vielleicht noch deutlicher .)
Bei den [mm] $y_n$ [/mm] mach' ich analoges, nur sind die [mm] $y_n$ [/mm] Nullstellen von $f$.
(Also:
Die [mm] $x_n$, $y_n$ [/mm] werden eigentlich passend für obiges [mm] $\black{f}$ [/mm] mittels eines Wissens über Maximalstellen bzw. Nullstellen von $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] konstruiert.)
Glücklicherweise nähern sich [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] beliebig nahe an ...(?). Wäre $f$ nun diff'bar in $0$ (und damit insbesondere rechtseitig diff'bar in $0$):
Was hieße das dann für
[mm] $\limes_{n \to \infty}\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n}$ [/mm]
und
[mm] $\limes_{n \to \infty}\frac{f(y_n)-f(0)}{y_n}$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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hm als das sind ja beides nullfolgen...
der erste diff.quot springt immer zwischen -1 und 1 hin und her ?
der zweite konvergiert gegen null, weil der sinus null wird
weil der sinus dann bei zwei nullfolgen nicht gegen den gleichen wert konvergiert divergiert er ? kann ich das daraus folgern ?
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naja die beiden dirrerenzenquotienen wären gleich, wenn f(x) in xo differenzierbar wäre oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bei den [mm] $x_n$ [/mm] hast Du Dich vertan. [mm] $\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n}$ [/mm] springt nicht zwischen $-1$ und $1$ her (so eine Folge hätte ich allerdings auch angeben können: [mm] $z_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*\blue{\pi}}$; [/mm] mit [mm] $(z_n)_n$ [/mm] könnte man dann auch direkt zeigen, dass $f$ nicht rechtsseitig diff'bar in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist).
Sondern es gilt für jedes $n$:
[mm] $\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n}=\frac{x_n*\sin\left(\frac{\pi}{2}+n*2\pi\right)}{x_n}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ [/mm] wegen der [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] von $x [mm] \mapsto \sin(x)$; [/mm] sowie
[mm] $\frac{f(y_n)-f(0)}{y_n}=0$
[/mm]
Daher [mm] $\limes_{n \to \infty}\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n}=1 \not=0=\limes_{n \to \infty}\frac{f(y_n)-f(0)}{y_n}$.
[/mm]
Und wie Du richtig erkannt hast:
Weil [mm] $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ [/mm] Nullfolgen in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] sind folgt daraus, dass $f$ nicht (rechtsseitig und damit insbesondere auch nicht) diff'bar in [mm] $x_0=0$ [/mm] sein kann.
Gruß,
Marcel
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