wurzel aus komplexer Zahl < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe früher immer gedacht, dass wenn unter der Wurzel was negatives steht, ich einfach das -1 vor die Wurzel ziehen kann. Hab mir das so wie bei [mm] \IR [/mm] gedacht.
[mm] \wurzel{10} [/mm] = [mm] \wurzel{5 \cdot 2}= \wurzel{5} \cdot \wurzel{ 2}
[/mm]
bzw.
[mm] \wurzel[n]{10} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{5 \cdot 2}= \wurzel[n]{5} \cdot \wurzel[n]{ 2}
[/mm]
auf [mm] \IC [/mm] angewendet
[mm] \wurzel{-10} [/mm] = [mm] \wurzel{-1 \cdot 10}= \wurzel{-1} \cdot \wurzel{ 10}= i\wurzel{10}
[/mm]
hab jetzt in Wikipedia folgendes gelsesen:
"Beim Rechnen mit Wurzeln gelten die bekannten Rechenregeln für nichtnegative reelle Zahlen nicht."
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln
Das heisst, dass meine Annahme falsch ist. Beim Rechnen hat das aber so weit ich mich erinnern kann immer funktioniert.
Kann aber in dem Artikel nicht irgendwas in Richtung
[mm] \wurzel{-a} [/mm] = [mm] i\wurzel{a}
[/mm]
finden. Kann mir jemand sagen wieso das beim Rechnen trotzdem funktioniert hat?
Gibt es da ne Regel bei den komplexen Zahlen die ich nicht kenne?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo habnefrage,
typisches Negativbeispiel:
[mm] 1=\sqrt{1}=\sqrt{1*1}=\sqrt{i^2*i^2}=\sqrt{i^2}\sqrt{i^2}=i*i=i^2=-1
[/mm]
Allgemein gelten daher auch die Potenzregeln hier nicht. Für die n-te Wurzel ist das sowieso anders, weil es da ja genau n Lösungen gibt. Darauf sollte man also zusätzlich noch achten.
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Hallo,
ergänzend zu Richies Antwort:
> Das heisst, dass meine Annahme falsch ist. Beim Rechnen hat
> das aber so weit ich mich erinnern kann immer funktioniert.
> Kann aber in dem Artikel nicht irgendwas in Richtung
> [mm]\wurzel{-a}[/mm] = [mm]i\wurzel{a}[/mm]
> finden. Kann mir jemand sagen wieso das beim Rechnen
> trotzdem funktioniert hat?
Das ist sehr leicht zu sagen. Betrachte es mal so, dass du die 10 als [mm] \wurzel{10} [/mm] aus der Wurzel gezogen hast, also
[mm] \wurzel{-10}=\wurzel{10*(-1)}=\wurzel{10}*\wurzel{-1}=\wurzel{10}*i
[/mm]
Das bedeutet, in diesem Fall wendest du - etwas spitzfindig gesagt, das entsprechende Potenzgesetz ja nur auf die 10 an, und das geht, da [mm] \wurzel{10} [/mm] reell ist. Bedeutet also: für positive reelle Zahlen a gilt auf jeden Fall
[mm] i*\wurzel{a}=\wurzel{-a}
[/mm]
(Beachte die Reihenfolge!)
In Wirklichkeit ist die Sache im Komplexen wesentlich komplizierter, Richie hat das angedeutet. Da muss man sich erstmal bis dahin durchwursteln, um dann einzusehen, dass obige Wurzel zwei 'Zweige' besitzt und es korrekt so heißen muss:
[mm] \wurzel{-a}=\pm{i}\wurzel{a} [/mm]
(Wobei viele Mathematiker im Komplexen das Plus-Minuszeichen nicht so gerne anwenden, sondern auf andere Schreibweisen zurückgreifen).
In deinem Fall wäre also
[mm] -i*\wurzel{10}
[/mm]
eine weitere Lösung.
Mit deinem Irrtum befindest du dich übrigens in prominenter Gesellschaft: kein geringerer als Leonhard Euler ging eine Zeit lang davon aus, dass
[mm] \wurzel{-2}*\wurzel{-3}=\wurzel{6}
[/mm]
die einzig mögliche Lösung wäre, rechne das mal mit Hilfe der imaginären Einheit durch dann kommst du auf [mm] -\wurzel{6}!
[/mm]
Gruß, Diophant
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Danke für eure schnelle Antworten,
> Mit deinem Irrtum befindest du dich übrigens in
> prominenter Gesellschaft: kein geringerer als Leonhard
> Euler ging eine Zeit lang davon aus, dass
>
> [mm]\wurzel{-2}*\wurzel{-3}=\wurzel{6}[/mm]
>
> die einzig mögliche Lösung wäre, rechne das mal mit
> Hilfe der imaginären Einheit durch dann kommst du auf
> [mm]-\wurzel{6}![/mm]
Hab ne Weile lang gebraucht um zu verstehen wie ich auf
[mm] -\wurzel{6!}
[/mm]
kommen soll. Hab dann gemerkt, dass das Ausrufezeichen ein Satzzeichen ist und nichts mit Fakultät zu tun hat :)
Den Hinweis:
> [mm] i*\wurzel{a}=\wurzel{-a} [/mm]
> (Beachte die Reihenfolge!)
habe ich aber nicht verstanden.
War etwa, die Reihenfolge von [mm] i*\wurzel{a} [/mm] gemeint?
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Hallo,
ich habe bei der fraglichen Gleichheit die Seiten im Vergleich zu dir vertauscht. Man liest so etwas ja von links nach rechts und ich wollte somit unterstreichen, dass für den Ausdruck auf der linken Seite die rechte Seite in jedem Fall gilt, nicht aber anders herum.
Man muss beim Rechnen mit komplexwertigen Funktionen schnell eine ziemliche 'Kröte' schlucken: nämlich, dass bekannte Funktionen wie die Wurzel- oder die Logarithmusfunktion nicht mehr eindeutig sind. Man behilft sich dann (da der Funktionsbegriff nach wie vor eine eindeutige Zuordnung bedeutet) damit, von unterschiedlichen'Zweigen' der Funktion zu sprechen. Die n. Wurzel bspw. besitzt n Zweige, die Logarithmusfunktion sogar unendlich viele, zumindest für negative und echt komplexe Argumente.
Und an dieser Problematik bist du sozusagen mit deiner Frage erstmalig entlanggeschrammt. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 So 27.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal kurz ergänzend zu Deiner Frage: In [mm] $\IR$ [/mm] kann man sagen, dass
für $r [mm] \ge [/mm] 0$ dann [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] DIEJENIGE reelle Zahl [mm] $x\,$ [/mm] ist, die erfüllt,
dass SOWOHL $x [mm] \ge [/mm] 0$ als auch [mm] $x^2=r\,$ [/mm] gelten.
Damit ist [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] EINDEUTIG definiert (für $r [mm] \ge [/mm] 0$).
[mm] $\IC$ [/mm] kann man mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizieren. Was ist nun [mm] $\sqrt{-1}$?
[/mm]
Man sagt einfach nur, dass man [mm] $z=\sqrt{-1}$ [/mm] FÜR EINE Zahl $z [mm] \in \IC$ [/mm] schreibt,
die [mm] $z^2=\,-\,1$ [/mm] erfüllt. Das ist natürlich unglücklich, weil damit das Symbol
[mm] $\sqrt{-1}$ [/mm] ja sowohl [mm] $i\,$ [/mm] als auch [mm] $\,-\,i$ [/mm] sein kann, denn:
[mm] $$i^2=(0,1)*\underbrace{(0,1)}_{\in \IR^2\,, \text{ wobei man }\IC \text{ mit }\IR^2\text{ identifiziert}}=(0*0-1*1,0*1-1*0)=(-1,0)=-1 \in \IR$$
[/mm]
und auch
[mm] $$(-i)^2=((-1)*i)*((-1)*i)=(-1)^2*i^2=-1\,,$$
[/mm]
denn man definiert meist die komplexen Wurzeln wie hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen (klick!)
In [mm] $\IR$ [/mm] hat man quasi erstmal eigentlich auch ein ähnliches Problem
gehabt, denn etwa die Gleichung [mm] $x^2=5$ [/mm] hat ja auch zwei Lösungen:
[mm] $x=\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $x=\,-\,\sqrt{5}\,.$ [/mm] Das ist jetzt ein wenig verwirrend,
weil wir hier zweimal das [mm] $\sqrt{\cdot}$-Symbol [/mm] benutzen, es aber eigentlich
mit verschiedenen Bedeutungen behaftet ist. (Die Wurzel aus einer
nichtnegativen reellen Zahl, und auch die Wurzel aus einer komplexen
Zahl!)
Machen wir es mal so: Wir schreiben [mm] $w_n(z):=\{y \in \IC: y^n=z\}\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $w_n$ [/mm] ist die Lösungsmenge der Gleichung [mm] $y^n=z$ [/mm] für $z [mm] \in \IC\,,$ [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest in der Variablen $y [mm] \in \IC\,.$
[/mm]
Ferner definieren wir nach wie vor
[mm] $\sqrt{r}=x$ $\iff$ [/mm] $x [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $x^2=r$
[/mm]
für $r [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann könnte man für jedes $r [mm] \ge [/mm] 0$ schreiben:
[mm] $$\sqrt{r}=\sqrt[2]{r} \in w_2(r)$$
[/mm]
sowie
[mm] $$w_2(r)=\{\;-\;\sqrt{r},\;\sqrt{r}\}\,.$$
[/mm]
Deswegen habe ich auch immer ein Problem auch mit dem, was bei
Wikipedia steht: Eigentlich ist [mm] $\sqrt{r}\,$ [/mm] für $r [mm] \ge [/mm] 0$ erstmal eine Zahl,
die eindeutig definiert ist (dass man dafür noch einiges braucht, etwa die
Vollständigkeit von [mm] $\IR\,,$ [/mm] um die Existenz von sowas zu haben, ist eine
andere Sache). Nun gilt [mm] $\IR \subseteq \IC\,.$ [/mm] Wenn ich nun aber [mm] $\sqrt{r}$
[/mm]
als "Wurzel der komplexen Zahl $r [mm] \in \IC$" [/mm] auffasse, ist das nicht
notwendig das gleiche [mm] $\sqrt{r}\,$ [/mm] wie zuvor. In meiner Notation kann
man dann nämlich doch nur sagen, dass für $r [mm] \in \IC$ [/mm] dann doch [mm] $\sqrt{r}$ [/mm]
ein Element der Menge [mm] $w_2(r)$ [/mm] sein muss. Vielleicht müßte man sich
sogar mal Gedanken machen, oben man nicht sogar besser sowas wie
[mm] $$_{\IR}\sqrt{r}$$
[/mm]
und
[mm] $$_{\IC}\sqrt{r}$$
[/mm]
schreiben sollte, wobei sich die Symbole nun selbst erklären, wie ich hoffe.
Dann würde man vielleicht einfach sagen:
[mm] $$y=_{\IC}\sqrt{r} \iff [/mm] y [mm] \in w_2(r)=\{\;-\;_{\IR}\sqrt{r},\;_{\IR}\sqrt{r}\}\text{ für alle }r \ge 0\,.$$
[/mm]
Und dann kann man sagen:
[mm] $$y=_{\IC}\sqrt{z} \iff y^2=z\iff [/mm] y [mm] \in w_2(z)$$
[/mm]
für $z [mm] \in \IC\,.$
[/mm]
Und nur für $z [mm] \in \IC \setminus [0,\,\infty)$ [/mm] sollte man dann [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] kurz für [mm] $_{\IC}\sqrt{z}$ [/mm] schreiben,
weil dann eigentlich nur hier keine Verwechslungsgefahr besteht!
Gruß,
Marcel
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