wurzel aus 3 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige durch einen indirekten Beweis, dass es sich bei [mm] \wurzel{3} [/mm] um eine irrationale Zahl handelt. |
hallo
wir haben in der schule den indirekten Beweis mit [mm] \wurzel{2} [/mm] durchgeführt, und zwar haben wir die gleichung [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{y} [/mm] aufgestellt, in [mm] 2y^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm]
dann haben wir das so gemacht dass wir festgestellt haben dass x somit eine gerade zahl sein muss usw.
Aber bei [mm] \wurzel{3} [/mm] muss es doch eigentlich einen anderen weg geben, weil des ja nicht mit den geraden zahlen geht. und ich komm leider nicht auf die lösung.
*~shadowcat~*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann übertrag das doch mal auf [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Es soll gelten, [mm] \wurzel{3}=\bruch{x}{y}, [/mm] wobei xund y teilerfremd sein sollen (das heisst, der Bruch ist gekürzt worden)
Das muss jetzt zum Widerspruch führen.
Also
[mm] \wurzel{3}=\bruch{x}{y}
[/mm]
[mm] \gdw 3=\bruch{x²}{y²}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x²=3y²
[mm] \gdw [/mm] x*x*x=3(y*y*y)
[mm] \gdw \bruch{x*x*x}{y*y*y}=3
[/mm]
und das kann nicht sein, da x und y je teilerfremd sein sollten.
Marius
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> [mm]\wurzel{3}=\bruch{x}{y}[/mm]
> [mm]\gdw 3=\bruch{x²}{y²}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x²=3y²
> [mm]\gdw[/mm] x*x*x=3(y*y*y)
> [mm]\gdw \bruch{x*x*x}{y*y*y}=3[/mm]
> und das kann nicht sein, da x
> und y je teilerfremd sein sollten.
also erstmal wenn ich [mm] x^{2} [/mm] habe, dann ist das doch x*x und nicht x*x*x oder?
und dannn noch, wie kann man das sagen, dass wenn ich [mm] \bruch{x*x}{y*y}=3[/mm] habe, dann heißt das doch nicht, dass x und y nicht teilerfremd sind. das kann dann doch nicht sein oder?
*~shadowcat~*
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> > [mm]\wurzel{3}=\bruch{x}{y}[/mm]
> > [mm]\gdw 3=\bruch{x²}{y²}[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] x²=3y²
> > [mm]\gdw[/mm] x*x*x=3(y*y*y)
> > [mm]\gdw \bruch{x*x*x}{y*y*y}=3[/mm]
> > und das kann nicht
> sein, da x
> > und y je teilerfremd sein sollten.
>
> also erstmal wenn ich [mm]x^{2}[/mm] habe, dann ist das doch x*x und
> nicht x*x*x oder?
Korrekt, sory, mein Fehler
> und dannn noch, wie kann man das sagen, dass wenn ich
> [mm]\bruch{x*x}{y*y}=3[/mm] habe, dann heißt das doch nicht, dass x
> und y nicht teilerfremd sind. das kann dann doch nicht sein
> oder?
>
> *~shadowcat~*
Also neuer Ansatz,
[mm] \wurzel{3}=\bruch{x}{y}, [/mm] x und y sind teilerfremd
[mm] \gdw 3=\left(\bruch{x}{y}\right)²
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 3y²=x²
Also muss x² durch drei Teilbar sein.
Den Rest kannst du wieder aus dem bekannten Schema [mm] \wurzel{2}\not\in\IQ [/mm] herleiten.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Di 31.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo shadowcat,
bei meinem Beweis brauche ich Tatsache, dass jede natuerliche Zahl $n$
sich in eindeutiger Weise als ein Produkt der Form
$n= [mm] m_1^{r_1}\times...\times m_k^{r_k}$ [/mm] darstellen laesst, wobei
[mm] $m_1,...,m_k$ [/mm] Primzahlen sind und [mm] $r_1,...,r_k$ [/mm] sind Zahlen 1,2,3,...
Beachte, dass dann gilt [mm] $n^2= m_1^{2r_1}\times...\times m_k^{2r_k}$.
[/mm]
Mithin tritt jeder Primteiler von [mm] $n^2$ [/mm] auch als Primteiler von $n$ auf.
Wir zeigen jetzt noch mehr als deine Aufgabe. Sei $m$ eine Primzahl.
Wir zeigen, dass [mm] $\sqrt{m}$ [/mm] irrational ist. Angenommen, es gibt
natuerliche Zahlen $p,q$ mit [mm] $\sqrt{m}=p/q$ [/mm] ,wobei $p$ und $q$
teilerfremd sind. Dann ist [mm] $p^2=m q^2$. [/mm] Da $m$ eine Primahl ist, ist
$m$ ein Teiler von [mm] $p^2$, [/mm] also auch von $p$, so dass wir schreiben koennen $p=m [mm] p_0$ [/mm] fuer eine
natuerliche Zahl [mm] $p_0$. [/mm] Mithin ist [mm] $\sqrt{m}=m p_0/q$. [/mm] Folglich ist
[mm] $q=\sqrt{m} p_0$, [/mm] also [mm] $q^2=m p_0^2$. [/mm] Mithin teilt $m$ auch $q$, was ein
Widerspruch ist, da $p$ und $q$ ja als teilerfremd vorausgesetzt wurden.
Ich hoffe, dass ich nicht zu viel Vorwissen fuer dich in die Loesung
hineingesteckt habe.
hth
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