wurzel aus 2i < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung
[mm] z^2 [/mm] = 2i
in [mm] \IC. [/mm] |
so es muss nach einem satz 2 lösungen geben.
[mm] z=\wurzel[n]{r}*e^{2k\pi/n}
[/mm]
so jetzt müsste [mm] r^2= realteil^2+im^2
[/mm]
also wurzel -4 [mm] \to [/mm] 2i
für k=0 gilt dann [mm] z1=\wurzel[2]{2i}
[/mm]
und für k=1 [mm] z2=\wurzel[2]{2i}*e^{pi} [/mm] und da sinus(pi)=0 und cos(pi)=-1
müsste die zweite lösung [mm] z2=\wurzel[2]{-2i} [/mm] sein. ist das so korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
und da [mm] \wurzel{i}=\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{i}{\wurzel{2}}
[/mm]
müsste [mm] \wurzel{2i}= [/mm] 1+i sein und [mm] \wurzel{-2i}= [/mm] -1-i???
.....das geht sogar rechnerisch
|
|
|
| |
|
Hallo Kinghenni,
> und da
> [mm]\wurzel{i}=\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{i}{\wurzel{2}}[/mm]
> müsste [mm]\wurzel{2i}=[/mm] 1+i sein und [mm]\wurzel{-2i}=[/mm] -1-i???
> .....das geht sogar rechnerisch
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Kinghenni,
> Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung
> [mm]z^2[/mm] = 2i
> in [mm]\IC.[/mm]
> so es muss nach einem satz 2 lösungen geben.
> [mm]z=\wurzel[n]{r}*e^{2k\pi/n}[/mm]
[mm]z_{k}=\wurzel{r}*e^{\red{i}*\bruch{\red{\varphi}+2k\pi}{2}}, \ k=0,1[/mm]
> so jetzt müsste [mm]r^2= realteil^2+im^2[/mm]
> also wurzel -4 [mm]\to[/mm]
> 2i
Nein, der Betrag einer komplexen Zahl ist immer reell.
> für k=0 gilt dann [mm]z1=\wurzel[2]{2i}[/mm]
> und für k=1 [mm]z2=\wurzel[2]{2i}*e^{pi}[/mm] und da sinus(pi)=0
> und cos(pi)=-1
> müsste die zweite lösung [mm]z2=\wurzel[2]{-2i}[/mm] sein. ist das
> so korrekt?
Korrekt ist das schon, der Weg dahin aber nicht.
nur die Wurzeln kannst Du noch etwas anders schreiben:
[mm]z_{k}=\wurzel{r}*e^{i*\bruch{\varphi+2k\pi}{2}}=\wurzel{r}*\left(\ \cos\left( \ \bruch{\varphi+2k\pi}{2} \ \right) + i*\sin\left(\ \bruch{\varphi+2k\pi}{2} \ \right) \ \right), \ k=0,1[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
ja das es kommt |z| raus, dann müsste r=2 sein, nur wie soll das i noch dazu kommen?
sinus von 0,pi ist gleich 0, daher muss doch der imiginärwert auch immer 0 sein
|
|
|
| |
|
Hallo Kinghenni,
> ja das es kommt |z| raus, dann müsste r=2 sein, nur wie
> soll das i noch dazu kommen?
Aus der Gleichung
[mm]z^{2}=2i[/mm]
folgt durch Wurzelziehen:
[mm]z_{1,2}=\pm\wurzel{2i}[/mm]
> sinus von 0,pi ist gleich 0, daher muss doch der
> imiginärwert auch immer 0 sein
>
Nein, der Imaginärteil ist gleich 2, der Realteil muß 0 sein.
[mm]z=2i=2*\left( \ \cos\left(\varphi\right) + i* \sin\left(\varphi\right) \ \right)[/mm]
Hieraus ergibt sich, durch Vergleich von Real- und Imaginärteil:
[mm]0=2*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]2=2*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Dann hast Du die Darstellung
[mm]2i=2*e^{i*\varphi}[/mm]
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Kinghenni |
danke schön....hatte da wohl einiges durcheinander gebracht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=503992
FRED
|
|
|
|
