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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Do 14.05.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Zeige, dass die Funktion L: [mm] D_1(0) [/mm] --> [mm] \IC, L(w)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{n}w^n
[/mm]
wohldefiniert ist. Zeige ferner, dass |exp(z)-1|<1 für alle z [mm] \in D_{log2}(0) [/mm] gilt, und dass L(exp(z)-1)=z für alle z [mm] \in D_{log2}(0) [/mm] ist.
(Hinweis: Berechne [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] (L(exp(z)-1)-z).) |
Hallo,
ich kann mit obiger Aufgabe nicht sonderlich viel anfangen...
Gerade bei der Wohldefiniertheit weiß ich nicht wirklich, was ich machen soll..
Ich habe einfach mal den Konvergenzradius der Reihe ausgerechnet und erhalten, dass dieser gerade 1 ist.
|exp(z)-1|<1 ist ja äquivalent zu 0<exp(z)<2, der linke Teil ist ja klar (exp(z)>0 für alle z). Und in [mm] \IR [/mm] würde ich dann einfach umformen zu z<log(2). Aber wie funktioniert das in [mm] \IC?
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] (L(exp(z)-1)-z) = L'(exp(z)-1)*exp(z)-1
Wäre froh, wenn ihr mir helfen könntet.
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> Zeige, dass die Funktion L: [mm]D_1(0)[/mm] --> [mm]\IC, L(w)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{n}w^n[/mm]
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> wohldefiniert ist. Zeige ferner, dass |exp(z)-1|<1 für
> alle z [mm]\in D_{log2}(0)[/mm] gilt, und dass L(exp(z)-1)=z für
> alle z [mm]\in D_{log2}(0)[/mm] ist.
> (Hinweis: Berechne [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] (L(exp(z)-1)-z).)
> Hallo,
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> ich kann mit obiger Aufgabe nicht sonderlich viel
> anfangen...
> Gerade bei der Wohldefiniertheit weiß ich nicht wirklich,
> was ich machen soll..
> Ich habe einfach mal den Konvergenzradius der Reihe
> ausgerechnet und erhalten, dass dieser gerade 1 ist.
>
> |exp(z)-1|<1 ist ja äquivalent zu 0<exp(z)<2, der linke
> Teil ist ja klar (exp(z)>0 für alle z). Und in [mm]\IR[/mm] würde
> ich dann einfach umformen zu z<log(2). Aber wie
> funktioniert das in [mm]\IC?[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] (L(exp(z)-1)-z) = L'(exp(z)-1)*exp(z)-1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wäre froh, wenn ihr mir helfen könntet.
Wenn du L(w) nach w ableitest, erhältst du nach einigen Umformungen [mm] L'(w)=\summe_{n=0}^{\infty}(-w)^n, [/mm] also eine geometrische Reihe. Dafür gibt es eine Summenformel, die du nun stattdessen aufschreibst.
Darin setzt du nun für w das exp(z)-1 ein und das wiederum in die von dir gefundene Ableitungsgleichung. Du stellst fest, dass das Ganze 0 gibt, also konstant ist. Nun musst du nur noch einen Wert bestimmen.
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Danke!
Habe es soweit verstanden, nur wie ich dann den Wert bestimmen soll, ist mir nicht ganz klar.
Hast du auch eine Idee zu den beiden ersten Fragen. Also zur Wohldefiniertheit und der Ungleichung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 16.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Kann man die Umgleichung |exp(z)-1| < 1 im Komplexen genauso zeigen wie im Reellen? Da ja z [mm] \in D_{log2}(0) [/mm] ist.
„Du stellst fest, dass das Ganze 0 gibt, also konstant ist. Nun musst du nur noch einen Wert bestimmen.“
Ich weiß also dass L(exp(z)-1)-z konstant ist für z=0 ist der Wert dieses Terms 0, also L(exp(z)-1)-z=0 --> L(exp(z)-1)=z. kann ich das so machen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 17.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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