wie kann man das zeigen? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:58 So 30.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sein X ein topologischer Raum und Y [mm] \subseteq [/mm] X eine Teilmenge. Zeigen Sie:
(i) [mm] Y^\circ [/mm] (also der innere Kern) [mm] =\cup_{u\in U}U, [/mm] wobei [mm] U=\{U | U\subseteq X\,ist\,offen\,und\,U\subseteq Y\} [/mm] die Menge der offenen Teilmengen von X ist, die in Y enthalten sind.
|
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, wollte gerade versuchen irgendwie die aufgabe zu lösen nur ich weiß leider nicht, wie ich das formal beweisen soll.
Rein intuitiv ist mir das glaub ich klar und zwar sind die Menge der U sozusagen alle offenen Teilmenge aus Y und die alle vereinigt sind halt komplett Y ohne rand [mm] \partial [/mm] Y oder?
nur formal ist das nicht gerade +g+
kann mit da bitte bitte einer von euch weiterhelfen?
Gruß Ari
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 So 30.04.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
wie wärs denn so:
a) U ist Teilmenge von [mm]Y^0[/mm], denn U ist Teilmenge von Y (per Definition) und U ist offen (beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen).
b) [mm]Y^0[/mm] ist Teilmenge von U: Es sei x aus [mm]Y^0[/mm]. Dann ex. eine offene Umgebung zu x, die ganz in [mm]Y^0[/mm] enthalten ist (Definition von offen). Diese offene Umgebung ist dann aber gleichzeitig eine offene Teilmenge von Y und fällt damit unter die Definition von U. Also ist für beliebiges x aus [mm]Y^0[/mm] dieses schon enthalten in U und damit [mm]Y^0[/mm] Teilmenge von U.
Damit sind die Mengen gegenseitig ineinander enthalten und damit gleich.
Formal genug?
Viele Grüße,
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 So 30.04.2006 | | Autor: | AriR |
so ungefähr hatte ich es mir auch gedacht, war nur etwas stutzig, weil die aufgaben normal etwas länger und schwerer sind :)
aber vielen dank und schönes wochenende =)
Gruß Ari
|
|
|
|
