wendepunkte, funktionenschar < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Dirk2904 |
| Aufgabe 1 | gegeben ist für k>0 die funktion fk(x) = 1 / (x²+k²)
Bestimme k so, dass das Dreieck mit den beiden Wendepunkten des Graphen von fk und dem Ursprung als Eckpunkte den Flächeninhalt 1/2 Wurzel 3 hat
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| Aufgabe 2 | gegeben ist für k > 0 die funktion fk(x) = 4x / (x²+k²) .
auf welcher kurve liegen die Wendepunkte der graphen der funktionenschar fk |
hallo liebe foren mitglieder,
ich muss mir folgende aufgaben wieder selbst beibringen und weiß ehrlich gesagt nicht mehr, wie ich anfangen soll und wie auf die lösung komme. wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand die aufgabe (schritt für schritt) vorrechnen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. bestimme die2 Wendepunkte. weisst du wie das geht?
Sie hängen von k ab.
2. mach dir ne Skizze der fkt, z.bsp für k=1 zeichne das Dreieck ein. Bberechne dessen Fläche
3. verallgemeinere 2 für allgemeines k und setz für die Fäche dann [mm] 0.5*\wurzel{3} [/mm] ein.
4. bestimme k aus der Gleichung aus 3.
Gruss leduart
Grundsätzlicher Rat:
Aufgaben in denen irgendwas geometrisches vorkommt werden immer klarer, wenn man sich ne Skizze macht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Dirk2904 |
hallo leduart,
vielen dank für deine hilfe. ich hoffe, dass du mir noch ein bisschen weiter hilfst. bin seit vier jahren aus dem stoff raus und weiß so gut, wie gar nichts mehr.
also für die wendepunkte, brauch ich doch die zweite ableitung, richtig?
f' = -2x / (x²+k²)² --> richtig?
f'' = 2(3x²-k²) / (x²+k²)³ --> richtig?
soweit ich weiß, muss ich f'' nullsetzen, wobei der nenner wegfällt:
2 (3x²-k²) = 0 |
3x²-k² = 0 | +k²
3x² = k² | :3
x² = k²/3 | [mm] \wurzel{}
[/mm]
x = k/3 --> richtig?
einsetzen in ausgangsformel:
fk(x) = 1 / (x²+k²)
fk(x) = 1 / (k²/3 + k²) --> allgemeine Formel?
k=1
fk(x) = 1 / [mm] (\bruch{1}{3}+1²) [/mm] = 0,75
WP bei k=1 [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] / 0,75 )
stimmt es bis hierhin? wie komm ich denn auf die zwei Wendepunkte. Es gibt doch nur einen WP?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dirk und nachträglich
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> also für die wendepunkte, brauch ich doch die zweite
> ableitung, richtig?
Ja
> f' = -2x / (x²+k²)² --> richtig?
ja
> f'' = 2(3x²-k²) / (x²+k²)³ --> richtig?
Ja
f'=-2x*{x^2+k^2)^{-2}
>
> soweit ich weiß, muss ich f'' nullsetzen, wobei der nenner
> wegfällt:
das wäre richtig.
> 2 (3x²-k²) = 0 |
> 3x²-k² = 0 | +k²
> 3x² = k² | :3
> x² = k²/3 | [mm]\wurzel{}[/mm]
> x = k/3 --> richtig?
falsch
[mm] x1=+k/\wurzel{3}
[/mm]
[mm] x2=-k/\wurzel{3}
[/mm]
eine quadearische Gl. hat ausser wenn sie die form [mm] (x-a)^2=0 [/mm] hat immer 2 Lösungen.
>
> einsetzen in ausgangsformel:
>
> fk(x) = 1 / (x²+k²)
>
> fk(x) = 1 / (k²/3 + k²) --> allgemeine Formel?
das ist Wieder richtig, da [mm] x^2 [/mm] richtig ist.
> k=1
> fk(x) = 1 / [mm](\bruch{1}{3}+1²)[/mm] = 0,75
>
> WP bei k=1 [mm](\bruch{1}{3}[/mm] / 0,75 )
> stimmt es bis hierhin? wie komm ich denn auf die zwei
> Wendepunkte. Es gibt doch nur einen WP?
siehe oben
lass dir doch so ne Fkt einfach mal plotten, sie ist gerade, hat also alles doppelt, was nicht bei x=0 liegt.
ausserdem sieht man besser, was die Aufgabe will, und ob die Rechnungen etwa richtig sind.
Aber beinahe fertig bist du schon.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Dirk2904 |
hallo leduart,
vielen dank für deine schnelle hilfe :)
erstmal muss ich mich entschuldigen. ich habe den wendepunkt mit dem hochpunkt verwechselt. natürlich hat diese funktion zwei wendepunkte (im 1. und 2. quadranten).
die funktion habe ich mir eben bei http://www.onlinemathe.de/mathe/funktionen_zeichnen zeichnen lassen.
nun korregiere ich mal eben meine fehler bzw schreibe alles neu:
f' = -2x / (x²+k²)²
f'' = 2(3x²-k²) / (x²+k²)³
2 (3x²-k²) = 0 |
3x²-k² = 0 | +k²
3x² = k² | :3
x² = k²/3 | [mm]\wurzel{}[/mm]
[mm] x1=+k/\wurzel{3}
[/mm]
[mm] x2=-k/\wurzel{3}
[/mm]
einsetzen in ausgangsformel:
fk(x) = 1 / (x²+k²)
fk(x) = 1 / (k²/3 + k²) --> allgemeine Formel
-------
k=1 und x1
fk(x) = 1 / ( [mm] \bruch{1²}{3} [/mm] + 1²) = 0,75
k=1 und x2
fk(x) = 1 / ( - [mm] \bruch{1²}{3} [/mm] + 1²) = 1,5
WP1 bei k=1 ( [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] / 0,75 )
WP2 bei k=1 (- [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] / 1,5 )
so, ich habe nun das gefühl, dass das irgendwie nicht stimmt. der y-wert der wendepunkte müsste doch gleich sein? puh mir qualmt der kopf, ich mach morgen weiter. also wenn du heute noch antwortest, wäre das super nett. :) im nächsten schritt verstehe ich nicht, wie ich die dreiecksfläche ausrechnen kann, bzw den ansatz dazu.
viele grüße
dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv! [mm] x1^2=x2^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 04.02.2010 | | Autor: | Dirk2904 |
Hallo Leduart,
ja stimmt, ich hatte vergessen, dass das minuszeichen beim quadrieren positiv wird -.- mein fehler entschuldige.
nun aber zum nächsten teil der aufgabe. ich habe mir mal einen ansatz überlegt, wovon ich aber nicht anz überzeugt bin, ob das so richtig sein könnte.
für das dreieck, brauch ich ja bekanntlich die formel [mm] \bruch{g * h}{2}
[/mm]
die höhe h ergibt sich dann ja aus dem y-wert --> richtig?
die fläche ist ja laut aufgabenstellung [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{3}
[/mm]
so, wenn ich dann alles in die dreiecks-formel setze komm ich auf folgendes:
[mm] \bruch{\bruch{1}{2} * \wurzel{3} * \bruch{1}{\bruch{k^2}{3}+k}}{2} [/mm]
wäre nett wenn du mir sagst, ob das soweit richtig ist und was ich nun als nächstes machen muss?
vielen dank und viele grüße
dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Do 04.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] x_{w;k}=\bruch{k}{\wurzel{3}}
[/mm]
Und [mm] y_{w;k}=\bruch{1}{\bruch{k^{2}}{3}+k^{2}}=\bruch{1}{\bruch{4}{3}k^{2}}
[/mm]
Das in [mm] A=\bruch{g*h}{2} [/mm] eingesetzt ergibt:
$$ [mm] A(k)=\bruch{\bruch{k}{\wurzel{3}}*\bruch{1}{\bruch{4}{3}k^{2}}}{2} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{\bruch{k}{\wurzel{3}*\bruch{4}{3}k^{2}}}{2} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{\bruch{1}{\bruch{4*\wurzel{3}}{3}k}}{2} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{\bruch{1}{\bruch{4}{\wurzel{3}}k}}{2} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{1}{\bruch{4}{\wurzel{3}}k}*\bruch{1}{2} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{1}{2*\bruch{4}{\wurzel{3}}k} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{1}{\bruch{8}{\wurzel{3}}k} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{1}{k}:\bruch{8}{\wurzel{3}} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{1}{k}\red{*}\bruch{\wurzel{3}}{8} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{\wurzel{3}}{8k} [/mm] $$
Und jetzt bestimme k so, dass
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3}=\bruch{\wurzel{3}}{8k}
[/mm]
Marius
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