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Forum "Uni-Finanzmathematik" - vorkurs: stochastische integrale
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vorkurs: stochastische integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Fr 28.11.2003
Autor: Anja

hallo stefan,
nachdem ich einfach ein bisschen im vorkurs-skript (teil 1) gelesen habe und die aufgaben probiert habe zu loesen, wollte ich doch mal ins forum schreiben und fragen stellen...
ich habe noch nicht so ganz den ueberblick ueber die Xt, Wt, und Zt. wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist Xt eine zufallsvariable und Zt ein stochastischer Prozess (okay, so steht es wohl auch geschrieben), wobei Zt die menge aller Pfade des Baumes  ist,  fuer die Xt zutrifft unter beruecksichtigung eines bestimmten zeitpunktes t?!  was sagt mir aber genau die funktion f (t,Xt)? und was sagt genau Wt?und wie kann ich mir ein stochastisches differential anschaulich vorstellen?
hmmm... werde wohl nochmal die ersten seiten lesen... ist noch etwas unklar alles... und mich dann nochmal melden.
gruesse, anja

        
Bezug
vorkurs: stochastische integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Fr 28.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Anja,

erst einmal: Herzlich Willkommen und vielen Dank für dein Interesse! :-)

Also: [mm](X_t)_{t\ge 0}[/mm], [mm](Z_t)_{t\ge 0}[/mm] und [mm](W_t)_{t\ge 0}[/mm] sind alles stochastische Prozesse. Für jedes einzelne [mm]t\ge 0[/mm] sind [mm]X_t[/mm], [mm]Z_t[/mm] und [mm]W_t[/mm] Zufallsvariablen. Also: Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen. D.h. Nehme ich einen stochastischen Prozess und betrachte ihn zu einem gewissen Zeitpunkt, dann habe ich eine Zufallsvariable.

Nun, wie kann man sich die Dinger nun vorstellen? [mm](W_t)_{t \ge 0}[/mm] ist ein Wiener-Prozess, auch Brownsche Bewegung genannt. Man kann sagen: So ein Teil schwankt wild um die [mm]0[/mm] herum, und zwar so chaotisch und "zackig" ;-), dass die Funktion [mm]t \mapsto W_t(\omega)[/mm] für fast alle [mm]\omega \in \Omega[/mm] zwar stetig, aber an keiner Stelle differenzierbar ist.

[mm](X_t)_{t \ge 0}[/mm] ist ein stochastischer Prozess, der was mit [mm](W_t)_{t \ge 0}[/mm] zu tun hat, und zwar folgendes: Man kann sich ja fragen, wie die infinitesimalen Veränderungen von [mm]X_t[/mm], also [mm]X_{t+\Delta t} - X_t[/mm], aussehen. Diese sehen so aus, dass sie aus einem deterministischen Term bestehen, also quasi  auf einem infinitesimal kleinen Stück einfach gleich der Steigung mal [mm]\Delta t[/mm] sind, und einem Term, dessen infinitesimale Veränderungen so ähnlich wie die von [mm](W_t)_{t \ge 0}[/mm] aussehen, nur ein wenig verzerrt. Sprich also: Man hat irgendwie einen Drift, also eine Richtung, in die der Prozess in kurzen Zeitintervallen "grob mit einer gewissen Steigung geht". Aber er verläuft halt nicht genau in diese Richtung (das würde er, wenn wir den [mm]dW_t[/mm]-Term nicht hätten), sondern schwankt um diese Richtung herum, was dann in minikleinen Zeitintervallen ähnlich chaotisch aussieht wie die Pfade von [mm](W_t)_{t \ge 0}[/mm] selbst. Schau dir doch mal das Bildchen im zweiten Vorkurs mit der geometrischen Brownschen Bewegung an. Häufig ist aber [mm](X_t)_{t \ge 0}[/mm] sogar gleich [mm](W_t)_{t \ge 0}[/mm], dann ist also:

[mm]dX_t = 0 \cdot dt + 1 \cdot dW_t.[/mm]

Was ist nun [mm](Z_t)_{t \ge 0}[/mm]? Dies ist einfach ein neuer Prozess, der irgendwie aus dem Prozess [mm](X_t)_{t \ge 0}[/mm] hervorgeht. Wie genau, das wird durch die Funktion beschrieben:

[mm]Z_t = f(t,X_t)[/mm]

Es könnte zum Beispiel [mm](X_t)_{t \ge 0}[/mm] der Aktienkurs sein und [mm](f(t,X_t))_{t \ge 0}[/mm] der Preisprozess einer Option, d.h. irgendwie ist der Preis der Option eine Funktion des Aktienkurses. Wie genau der Zusammenhang ist, also wie [mm]f[/mm] genau aussieht, das muss man dann im Einzelnen bestimmen.

Wenn nun [mm]f[/mm] genügend oft differenzierbar ist, dann ist es toll, dass [mm](Z_t)_{t \ge 0}[/mm] eine ähnliche Struktur wie vorher [mm](X_t)_{t \ge 0}[/mm] besitzt, d.h. dieser neue Prozess hat auch ein stochastisches Differential, geht also in infinitesimal kleinen Zeitintervallen auch grob in eine Richtung und schwankt wild rum. Die Frage ist nur, welches Differential er besitzt. Das neue Differential von [mm]Z[/mm] hat ja wohl hoffentlich was mit dem alten Differential von [mm]X[/mm] zu tun, sonst wären wir relativ aufgeschmissen. ;-) Der genaue Zusammenhang wird im Satz von Ito erklärt. Im Wesentlichen erhalten wir Ausdrücke des alten Differentials, multipliziert mit partiellen Ableitungen von [mm]f[/mm], d.h. wir führen eine Art Taylor-Entwicklung durch. Die genaue mathematische Erklärung liest du dir dann im Skript durch, ich wollte es nur anschaulich erklären.

Halbwegs verstanden? ;-)

Viele Grüße
Stefan


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vorkurs: stochastische integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Fr 28.11.2003
Autor: Anja

ja. so langsam wird das alles klarer. habe eben auch noch mal im script gestoebert... vielen dank schon mal fuer die antwort. weitere fragen folgen bestimmt:-)
gruesse, anja


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vorkurs: stochastische integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Fr 28.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Anja,

das freut mich. Gern geschehen! :-)

Du kannst so viele Fragen stellen, wie du willst. Ich werde versuchen sie dann am Wochenende oder im Verlauf der nächsten Woche zu beantworten.

Alles Gute
Stefan




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vorkurs: stochastische integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:42 Di 02.12.2003
Autor: Anja

hallo stefan,
noch ein paar fragen zum vorkurs:

1) zur G3 im ersten Teil vom vorkurs:
man soll daraus schliessen, dass der erwartungswert=0 ist und die Varianz = Integral(sigma_quadrat(s)ds) ist. im lösungsvorschlag wurde wohl die charakteristische funktion für eine zufallsvariable Z mit Erwartungwert mü und Varianz sigma_quadrat verglichen mit der expliziten Lösung des AWPs (also mit m(t)= exp [mm] {-u^2 /2 Integral von 0 bis t über sigma^2 (s)ds}. [/mm] Die charakteristische Funktion für eine normalverteilte Zufallsvariable ist ja Zt= exp{i*mü*u - [mm] 0,5*sigma^2*u^2}. [/mm] Daraus liest man ab, dass mü=0 sein muss und [mm] sigma^2 [/mm] =  Integral von 0 bis t über [mm] sigma^2 [/mm] (s)ds.
Man köönte doch aber auch den Erwartungswert berechnen mit E[Xt]=E[Integral von 0 bis t über [mm] sigma^2 [/mm] (s)dWs]=0 und [mm] Var[X]=E[X^2]-(E[X])^2=..., [/mm] oder? hätte die charakteristische funktion leider nicht gleich parat gehabt... (müßte man aber, oder?). In diesem Fall war das Ausrechnen von Erwartungswert und Varianz nicht so schwer... oder habe ich mich da total vertan?

2) Zur G6 im ersten Teil vom vorkurs:
Wie geht denn die Bedingung Fsw (=die von W erzeugte Filtration zum Zeitpunkt s???) bei der Erwartungswertbildung ein?

3) Vorkurs 2, Seite 18 müßte es in der 4. Zeile heissen: "...Das parabolische Anfangswertproblem (17), (18) lässt sich dann..." (statt (23), (23))

Viele Grüße, Anja


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vorkurs: stochastische integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Mi 03.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Anja,

> 1) zur G3 im ersten Teil vom vorkurs:
> man soll daraus schliessen, dass der erwartungswert=0 ist und
> die Varianz = Integral(sigma_quadrat(s)ds) ist. im
> lösungsvorschlag wurde wohl die charakteristische funktion für
> eine zufallsvariable Z mit Erwartungwert mü und Varianz
> sigma_quadrat verglichen mit der expliziten Lösung des AWPs
> (also mit m(t)= exp [mm] {-u^2 /2 Integral von 0 bis t über sigma^2 > (s)ds}. [/mm] Die charakteristische Funktion für eine normalverteilte
> Zufallsvariable ist ja Zt= exp{i*mü*u - [mm] 0,5*sigma^2*u^2}. [/mm]
> Daraus liest man ab, dass mü=0 sein muss und [mm] sigma^2 [/mm] =
> Integral von 0 bis t über [mm] sigma^2 [/mm] (s)ds.
> Man köönte doch aber auch den Erwartungswert berechnen mit
> E[Xt]=E[Integral von 0 bis t über [mm] sigma^2 [/mm] (s)dWs]=0 und
> [mm] Var[X]=E[X^2]-(E[X])^2=..., [/mm] oder? hätte die charakteristische
> funktion leider nicht gleich parat gehabt... (müßte man aber,
> oder?). In diesem Fall war das Ausrechnen von Erwartungswert
> und Varianz nicht so schwer... oder habe ich mich da total
> vertan?

Ja und nein. Natürlich kann man den Erwartungswert und die Varianz einfacher direkt ausrechnen. Aber darum geht es bei der Aufgabe nicht. Man sollte ja vor allem zeigen, dass ein stochastisches Integral mit deterministischem Integranden  normalverteilt ist (und dann nebenbei Erwartungswert und Varianz ablesen). Allein aus der Tatsache, dass du den Erwartungswert und die Varianz berechnest, kannst du nicht schließen, dass es sich tatsächlich um eine normalverteilte Zufallsvariable handelt. Das kannst du aber aus der Form der charakteristischen Funktion erkennen. Da es sich bei der charakteritischen Funktion von Z um die charakteristische Funktion einer Normalverteilung handelt und die charakteristische Funktion die Verteilung der Zufallsvariablen eindeutig bestimmt, folgt, dass Z in der Tat normalverteilt ist. Nebenbei kann man dann noch den Erwartungswert und die Varianz ablesen, aber das war nicht das Hauptziel. Das, und da gebe ich dir recht, hätte man auch einfacher haben können.  

> 2) Zur G6 im ersten Teil vom vorkurs:
> Wie geht denn die Bedingung Fsw (=die von W erzeugte Filtration
> zum Zeitpunkt s???) bei der Erwartungswertbildung ein?

Nun ja, so darf man das nicht fragen (darf man schon, aber lässt sich nicht beantworten ;-)). Die Frage ist nicht, wo es eingeht, sondern, warum man es zeigen muss. Ein Martingal [mm]X[/mm] bezüglich der von [mm]W[/mm] erzeugten [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist definiert durch die Bedingung:

[mm] \mbox{E}[X_t | {\cal F}^W_s] = X_s[/mm]

für alle [mm]0 \le s \le t[/mm].

Dies ist wegen

[mm] X_s = \mbox{E}[X_s | {\cal F}^W_s] [/mm]

(denn [mm]X_s[/mm] ist [mm]{\cal F}^W_s[/mm]-messbar!)

aber äquivalent zu der Bedingung

[mm] \mbox{E}[X_t - X_s | {\cal F}^W_s] = 0[/mm]

für alle [mm]0 \le s \le t[/mm].

Daher müssen wir genau das zeigen. Warum gilt diese Bedingung? Weil wir früher gezeigt haben, dass der Erwartungswert eines stochastischen Integrals, bedingt auf [mm]{\cal F}_a^W[/mm], wobei [mm]a[/mm] die untere Intervallgrenze des stochastischen Integrals ist, gleich [mm]0[/mm] ist. Dies ist ein Satz aus dem ersten Vorkurs (Satz 4.7).


> 3) Vorkurs 2, Seite 18 müßte es in der 4. Zeile heissen:
> "...Das parabolische Anfangswertproblem (17), (18) lässt sich
> dann..." (statt (23), (23))

Vielen Dank :-) !

Ich werde es verbessern.

Ich bedanke mich ganz herzlich für dein Interesse und freue mich sehr, das du den Vorkurs und die Aufgaben so gründlich durcharbeitest. Es wird dir mit Sicherheit sehr helfen!!! :-)

Viele Grüße
Stefan


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vorkurs: stochastische integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 Di 09.12.2003
Autor: Anja

dankeschoen fuer die schnelle und ausfuehrliche antwort :-)


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vorkurs: stochastische integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Di 09.12.2003
Autor: Stefan

Liebe Anja,

hast du denn noch mehr Fragen oder ist alles klar?

Zögere bitte nicht, mich zu fragen, dafür ist das Forum da.

Das gilt übrigens auch für alle anderen. ;-)

Alles Gute
Stefan


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vorkurs: stochastische integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Sa 03.01.2004
Autor: Anja

hallo stefan,
wünsche erstmal dir und allen anderen matheraum-nutzern ein frohes neues jahr und alles gute für 2004.
sorry, dass ich mich so lange nicht mehr gemeldet habe. habe länger nichts mehr in finanzmathe gemacht... ein paar fragen habe ich aber trotz allem "gesammelt":

übung 6, g20:
wo hatten wir denn definiert, dass W(t)= [mm] t^0.5 [/mm] * Z?

übung 5, g15a:
bei dieser aufgabe ist es nicht egal, ob man version a oder b der itoformel (vorkurs1 seite 16 bzw 17) verwendet. mit version b wird die aufgabe falsch. warum ist das so? was ist der unterschied der beiden versionen, denn von den voraussetzungen und bezeichnungen her ist satz 5.2 (version b) wie satz 5.1., oder?

G3, erster teil vom vorkurs:
letztes mal ging es um die charakteristische funktion der normalverteilung und ich dachte, dass man den erwartungswert auch so ausrechnen kann usw. mein eigentliches problem lag wohl darin, dass mir nicht klar ist, wie ich die charakteristische funktion bestimme.  (um nach vergleichen festzustellen, dass es die charakteristische funktion der normalverteilung ist...)? wie bestimmt man denn die charakteristische funktion von diesem speziellen fall?


das wars erstmal. vielen dank und viele grüße, anja!


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vorkurs: stochastische integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Sa 03.01.2004
Autor: Stefan

Liebe Anja,

auch dir ein Frohes Neues Jahr! :-)

Ich hoffe du hattest schöne "Ferien" (also, ich hatte leider keine, obwohl ich offiziell Urlaub hatte, aus Zeitnotgründen war ich jeden Tag außer den beiden Weihnachtsfeiertagen im Büro).

Ich werde dir jetzt auf die Fragen einzeln antworten, damit wir den Überblick nicht verlieren.

Bis gleich also!

Liebe Grüße
Stefan


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vorkurs: stochastische integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:42 So 04.01.2004
Autor: Anja

lieber stefan,
vielen vielen dank für die ausführlichen und verständlichen antworten. da muss ich mich noch ganz schön reinknien...  denn irgendwie sind die probleme  vor allem verständnisprobleme der grundlagen als finanzmathe-probleme.
viele grüße, anja!

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vorkurs: stochastische integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:21 So 04.01.2004
Autor: Stefan

Liebe Anja,

die Grundlagen (W-Theorie und Stochastische Analysis) sind auch am aufwändigsten und schwierigsten, insofern teile ich deine Ansicht, dass dort die meisten Probleme (nicht nur bei dir, sondern bei nahezu allen Zuhörerinnen und Zuhörern der Vorlesung) liegen.

Die Finanzmathematik an sich ist dann gar nicht so schwierig, wenn man die elementaren Techniken beherrscht. Ich habe in meinem Studium nie Finanzmathematik gemacht, nur die doch eher technische und theoretische Stochastische Analysis. Mit Finanzmathematik beschäftige ich mich erst seit einem Jahr. Wie du also siehst, kann man dann immerhin in kurzer Zeit soviel wissen, dass man zumindestens den Eindruck erweckt als hätte man halbwegs Ahnung. ;-)

Du darfst ruhig noch mal nachfragen, wenn sich nicht alle deine Fragen geklärt haben, ehrlich. Ich finde das echt gut, dass du dir alles so genau anschaust. :-)

Alles Gute
Stefan


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vorkurs: stochastische integrale: 1. Frage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Sa 03.01.2004
Autor: Stefan

Zu deiner ersten Frage:

> übung 6, g20:
> wo hatten wir denn definiert, dass W(t)= [mm] t^0.5 [/mm] * Z?


Nun, das hatten wir nicht definiert. Das "d" über dem Gleichheitszeichen steht nicht für "definiert", sondern für "distribution" (engl. "Verteilung").

Der Ausdruck

[mm]W(t) \stackrel{d}{=} \sqrt{t}\, Z[/mm]

bedeutet also: [mm]W(t)[/mm] ist in Verteilung gleich [mm]\sqrt{t}\, Z[/mm], d.h. [mm]W(t)[/mm] ist genauso verteilt wie [mm]\sqrt{t}\, Z[/mm].

Warum ist das so? Nun, wie ist denn [mm]W(t)[/mm] verteilt? Wegen [mm]W(0)=0[/mm] ist [mm]W(t) = W(t)-W(0)[/mm]. Aber allgemein ist [mm]W(t)-W(s)[/mm] nach Definition eines Wiener-Prozesses [mm]{\cal N}(0,t-s)[/mm] verteilt, wenn [mm]{\cal N}(\mu,\sigma^2)[/mm] die Normalverteilung mit Erwartungswert [mm]\mu[/mm] und Varianz [mm]\sigma^2[/mm] bezeichnet.

Daher ist [mm]W(t)=W(t)-W(0)[/mm] gerade [mm]{\cal N}(0,t)[/mm]-verteilt.

Wenn aber [mm]Z[/mm] [mm]{\cal N}(0,1)[/mm]-verteilt ist (und das ist es ja nach Annahme), dann ist [mm]\sqrt{t}Z[/mm] gerade ebenfalls [mm]{\cal N}(0,t)[/mm]-verteilt.

(Eine mit einem Vorfaktor multiplizierte normalverteilte Zufallsvariable ist wieder normalverteilt. Der Erwartungswert wird mit dem Vorfaktor multipliziert, die Varianz mit dem Quadrat des Vorfaktors.)

Wir können also festhalten:

Die beiden Zufallsvariablen [mm]W(t)[/mm] und [mm]\sqrt{t}\, Z[/mm] sind gleich verteilt, wenn wir mit [mm]Z[/mm] eine standardnormalverteilte Zufallsvariable bezeichnen.

Das Gute ist jetzt: Wenn wir Wahrscheinlichkeiten ausrechnen wollen, in denen [mm]W(t)[/mm] vorkommt, dann können wir [mm]W(t)[/mm] einfach durch [mm]\sqrt{t}\, Z[/mm] ersetzen. Das erleichtert uns die Sache, denn Wahrscheinlichkeiten, wo eine standardnormalverteilte Zufallsvariable [mm]Z[/mm] vorkommt, können wir über die Standard-Gauß-Dichte ausrechnen.

Alles klar? ;-)

Stefan


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Bezug
vorkurs: stochastische integrale: 2. Frage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Sa 03.01.2004
Autor: Stefan

Liebe Anja!


> übung 5, g15a:
> bei dieser aufgabe ist es nicht egal, ob man version a oder b
> der itoformel (vorkurs1 seite 16 bzw 17) verwendet.



Doch, es ist egal. Ich habe beides nachgerechnet. (Wäre auch echt seltsam, wenn es nicht so wäre.)


> mit version
> b wird die aufgabe falsch. warum ist das so?



Was hast du denn raus? Kannst du mir bitte  deinen Rechenweg mitteilen? Dann sage ich dir, wo dein Fehler liegt.


> was ist der
> unterschied der beiden versionen, denn von den voraussetzungen
> und bezeichnungen her ist satz 5.2 (version b) wie satz 5.1.,
> oder?



Es gibt in dem Sinne keinen großen Unterschied. Die zweite Version ist nur eine (etwas übersichtlichere) andere Schreibweise für die erste Version. Allerdings arbeite ich meistens mit der erstens Version, weil ich es so gelernt habe.

Ich helfe dir echt gerne weiter, wenn du mir deinen Rechenweg nennst. Du kannst mir auch ein tex- oder word-file schicken, wenn du nicht weißt, wie man hier Formeln einbindet (ist allerdings ganz einfach und auf der matheraum-Seite auch beschrieben), dann binde ich dir die Formeln ein.

Alles Gute
Stefan


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Bezug
vorkurs: stochastische integrale: 3. Frage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Sa 03.01.2004
Autor: Stefan

Liebe Anja!:


> wie bestimmt man denn die charakteristische funktion von diesem
> speziellen fall?



Da ich das ja in der Lösung vorgerechnet habe, weiß ich jetzt nicht hundertprozentig genau, wo dein Problem liegt. Also werde ich es jetzt noch einmal mit anderen Worten beschreiben.

Die charakteristische Funktion der Zufallsvariable [mm]X_t[/mm] ist definiert durch:

[mm]\chi_{X_t}(u) = \mbox{E}\left[e^{iuX_t}\right] [/mm].

Es ist aber nicht so einfach, den Ausdruck [mm]\mbox{E}\left[e^{iuX_t}\right] [/mm] direkt zu bestimmen. Schließlich ist [mm]X_t[/mm] ein stochastisches Integral und da ist es nicht ohne weiteres klar, wie der Erwartungswert des Exponential des stochastischen Integrals aussieht. Also versuchen wir mal, die Zufallsvariable [mm]e^{iuX_t}\right] [/mm] zu bestimmen, in eine kompakte Form zu bringen, vielleicht als Ito-Prozess darzustellen. Vielleicht ist es ja dann anschließend einfach den Erwartungswert auszurechnen. Wahrscheinlich sogar, denn wir wissen ja aus dem Vorkurs ganz gut, wie man den Erwartungswert eines Ito-Prozesses ausrechnet (entweder direkt oder, wenn das nicht geht, über eine gewöhnliche Differentialgleichung).

Wie "berechnet" man nun [mm]e^{iuX_t}\right] [/mm]?

Mit Hilfe der Ito-Formel!

Man erhält (siehe Lösung) für festes [mm]u[/mm]:

[mm]d\left(e^{iuX_t}\right)= -\frac{1}{2}\, u^2\sigma^2(t) e^{iuX_t}\, dt + i u \sigma(t)e^{iuX_t}\, dW_t[/mm].

Dies kann man aufintegrieren. Es ergibt sich:

[mm]e^{iuX_t}= 1 - \frac{1}{2}\, u^2\, \int_0^t \sigma^2(s)e^{iuX_s}\, ds + iu \, \int_0^t \sigma(s)e^{iuX_s}\, dW_s.[/mm]

Jetzt wollen wir von der linken Seite den Erwartungswert bestimmten. Das Problem ist folgendes: Wenn wir auf beiden Seiten den Erwartungswert nehmen, dann steht da:

[mm]\mbox{E}\left[e^{iuX_t}\right]= 1 - \frac{1}{2}\, u^2\, \int_0^t \sigma^2(s)\mbox{E}\left[e^{iuX_s}\right]\, ds [/mm]

D.h. auf beiden Seiten haben wir etwas, was wir nicht kennen, sondern bestimmen wollen, nämlich die charakteristische Funktion

[mm]\chi_{X_t}(u) = \mbox{E}\left[e^{iuX_t}\right][/mm]

bzw.

[mm]\chi_{X_s}(u) = \mbox{E}\left[e^{iuX_s}\right][/mm].

Jetzt kommt aber der "Trick". Wir fassen das als gewöhnliche Differentialgleichung auf!

Für

[mm]m(t) = \chi_{X_t}(u) = \mbox{E}\left[e^{iuX_t}\right][/mm]

steht dann da zunächst:

[mm]m(t) = 1 - \frac{1}{2}\, u^2\, \int_0^t \sigma^2(s)m(s)\right]\, ds [/mm],

also eine Integralgleichung, die wir durch Differentiation in eine Differentialgleichung mit Anfangswertbedingung umschreiben:

[mm]\dot m(t) = -\frac{1}{2}\, u^2 \sigma^2(t)\, m(t)[/mm]
[mm]m(0) = 1.[/mm]

Dieses Anfangswertproblem hat aber eine eindeutige Lösung, nämlich (bekanntlich):

[mm]m(t) = \exp\left\{-\frac{u^2}{2} \int_0^t \sigma^2(s)\, ds\right\}[/mm].

Aber: Unsere gesuchte charakteristische Funktion [mm]\chi_{X_t}(u)[/mm] war ja (für festes [mm]u[/mm]!) gerade gleich [mm]m(t)[/mm]. Daher ist:

[mm]\chi_{X_t}(u) = \exp\left\{-\frac{u^2}{2} \int_0^t \sigma^2(s)\, ds\right\}[/mm].

Was daran ist jetzt unklar?

Ich gehe dann gerne auf deine Verständnisschwierigkeiten noch einmal detailliert ein. Es wäre natürlich gut, wenn ich wüsste, welcher Schritt genau unklar ist.

Liebe Grüße
Stefan


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