von E erzeugte Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:09 Mo 14.02.2011 | | Autor: | dr_geissler |
| Aufgabe | Definition:
Sei $E$ eine Teilmenge einer Gruppe $G$.
Dann bezeichnet [mm] $\langle [/mm] E [mm] \rangle$ [/mm] die kleinste Untergruppe von $G$ die $E$ enthält, äquivalent der Durchschnitt aller Untergruppen [mm] $U\subset [/mm] G$, die $E$ enthalten. Wir nennen [mm] $\langle [/mm] E [mm] \rangle$ [/mm] die von E erzeugte Untergruppe von G.
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein [mm] $g\in [/mm] G$ gibt mit [mm] G=$\langle [/mm] g [mm] \rangle$.
[/mm]
Für [mm] $g_1,...,g_k\in [/mm] G$ ist [mm] $\langle g_1,...,g_k \rangle =\{\produkt_{i=1}^{r} t_i|r\ge 0$ und $t_i\in \{g_1,g_1^{-1},...,g_k,g_k^{-1}\}\} [/mm] |
Ich verstehe das nicht. Kann mir das jemand anhand eines Beispiels erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Definition:
>
> Sei [mm]E[/mm] eine Teilmenge einer Gruppe [mm]G[/mm].
> Dann bezeichnet [mm]\langle E \rangle[/mm] die kleinste Untergruppe
> von [mm]G[/mm] die [mm]E[/mm] enthält, äquivalent der Durchschnitt aller
> Untergruppen [mm]U\subset G[/mm], die [mm]E[/mm] enthalten. Wir nennen
> [mm]\langle E \rangle[/mm] die von E erzeugte Untergruppe von G.
> Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein [mm]g\in G[/mm] gibt mit
> G=[mm]\langle g \rangle[/mm].
> Für [mm]$g_1,...,g_k\in[/mm] G$ ist [mm]$\langle g_1,...,g_k \rangle =\{\produkt_{i=1}^{r} t_i|r\ge 0$ und $t_i\in \{g_1,g_1^{-1},...,g_k,g_k^{-1}\}\}[/mm]
>
> Ich verstehe das nicht. Kann mir das jemand anhand eines
> Beispiels erklären?
Du nennst einige Definitionen und schreibst: " Ich verstehe das nicht."
Was genau verstehst Du nicht ?
FRED
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Nehmen wir mal [mm] $G=(\IZ,+)$ [/mm] und [mm] $E=\{2*k|k\in\IZ\}$ [/mm] eine Untergruppe von $G$.
Dann ist [mm] $\langle E\rangle=0$ [/mm] oder?
Der Durchschnitt aller Untergruppen eben, oder?
Aber laut meinem Skript ist die Gruppe [mm] (\IZ,+) [/mm] zyklisch von 1 erzeugt.
Da komm ich aber nicht drauf.
Das versteh ich eben nicht.
Und das macht die Definition so schwer zu verstehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Di 15.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nehmen wir mal [mm]G=(\IZ,+)[/mm] und [mm]E=\{2*k|k\in\IZ\}[/mm] eine
> Untergruppe von [mm]G[/mm].
>
> Dann ist [mm]\langle E\rangle=0[/mm] oder?
Nein, das kann nicht sein, denn E [mm] \subseteq \langle E\rangle
[/mm]
> Der Durchschnitt aller Untergruppen eben, oder?
>
> Aber laut meinem Skript ist die Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] zyklisch von
> 1 erzeugt.
>
> Da komm ich aber nicht drauf.
Wann heißt denn eine Gruppe zyklisch ??
FRED
>
>
> Das versteh ich eben nicht.
> Und das macht die Definition so schwer zu verstehen.
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> > Nehmen wir mal [mm]G=(\IZ,+)[/mm] und [mm]E=\{2*k|k\in\IZ\}[/mm] eine
> > Untergruppe von [mm]G[/mm].
> >
> > Dann ist [mm]\langle E\rangle=0[/mm] oder?
>
> Nein, das kann nicht sein, denn E [mm]\subseteq \langle E\rangle[/mm]
>
>
Aber was ist dann [mm]\langle E\rangle[/mm]?
Laut Definition, die kleinste Untergruppe von G, die E enthält. Aber das versteh ich nicht. Erklär es mir bitte.
> > Der Durchschnitt aller Untergruppen eben, oder?
> >
> > Aber laut meinem Skript ist die Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] zyklisch von
> > 1 erzeugt.
> >
> > Da komm ich aber nicht drauf.
>
> Wann heißt denn eine Gruppe zyklisch ??
Wenn es ein [mm] $g\in [/mm] G$ gibt, mit [mm] $G=\langle g\rangle$.
[/mm]
Ist [mm] $\langle g\rangle$ [/mm] das pendant zu [mm] $\langle E\rangle$?
[/mm]
>
> FRED
> >
> >
> > Das versteh ich eben nicht.
> > Und das macht die Definition so schwer zu verstehen.
>
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> > > Nehmen wir mal [mm]G=(\IZ,+)[/mm] und [mm]E=\{2*k|k\in\IZ\}[/mm] eine
> > > Untergruppe von [mm]G[/mm].
> > >
> > > Dann ist [mm]\langle E\rangle=0[/mm] oder?
> >
> > Nein, das kann nicht sein, denn E [mm]\subseteq \langle E\rangle[/mm]
>
> >
> >
> Aber was ist dann [mm]\langle E\rangle[/mm]?
> Laut Definition, die
> kleinste Untergruppe von G, die E enthält. Aber das
> versteh ich nicht. Erklär es mir bitte.
Hallo,
Dir ist klar, daß (wie Du selbst schreibst) (E,+) eine Untergruppe von [mm] (\IZ, [/mm] +) ist?
Es ist [mm] E\subseteq \IZ, [/mm]
und lt. Definition ist <E> die kleinste Untergruppe von [mm] \IZ, [/mm] von welcher E eine Teilmenge ist.
Alles klar bis hier?
Wenn ja, dann kann es weitergehen:
kann <E> ein Element enthalten, welches nicht in E ist?
Nein, denn dann wäre <E> nicht die kleinste Untergruppe von [mm] \IZ, [/mm] welche E enthält, denn die Untergruppe E ist kleiner.
Und <E> kann auch nicht "kleiner" sein als E, denn dann wäre E ja nicht in <E> enthalten.
> > > Der Durchschnitt aller Untergruppen eben, oder?
Hm. Ich weiß nicht recht, was Du mit dieser Frage meinst...
<E> ist der Durchschnitt all der Untergruppen von [mm] \IZ, [/mm] welche E enthalten.
(Nebenbei: es sind nicht viele Untergruppen von [mm] \IZ, [/mm] welche E enthalten. Überleg' Dir mal, welche.)
> > >
> > > Aber laut meinem Skript ist die Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] zyklisch von
> > > 1 erzeugt.
> > >
> > > Da komm ich aber nicht drauf.
> >
> > Wann heißt denn eine Gruppe zyklisch ??
>
> Wenn es ein [mm]g\in G[/mm] gibt, mit [mm]G=\langle g\rangle[/mm].
> Ist
> [mm]\langle g\rangle[/mm] das pendant zu [mm]\langle E\rangle[/mm]?
Kommt darauf an, was Du mit "Pendant" meinst...
<g> ist die kleinste Untergruppe von G, welche das Element g enthält, was äquivalent dazu ist, daß <g> der Schnitt all jener Untergruppen von g ist, welche das Element g enthalten.
Jetzt schauen wir mal, wieso [mm] \IZ [/mm] von 1 erzeugt wird, wir gucken also mal, was in einer jeglichen Untergruppe von [mm] \IZ, [/mm] welche die 1 enthält, drin sein muß:
wenn die 1 drin ist, ist auch -1 drin. (Weshalb)
Wenn 1 und -1 drin sind, sind auch [mm] \underbrace{1+1+...+1}_{n-mal} [/mm] und [mm] \underbrace{(-1)+(-1)+...+(-1)}_{n-mal} [/mm] drin und natürlich auch 1+(-1).
Hokuspokus, damit haben wir schon [mm] \IZ [/mm] !
Ich hoffe, daß Dir der Sachverhalt allmählich etwas klarer wird.
Gruß v. Angela
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> > > > Nehmen wir mal [mm]G=(\IZ,+)[/mm] und [mm]E=\{2*k|k\in\IZ\}[/mm] eine
> > > > Untergruppe von [mm]G[/mm].
> > > >
> > > > Dann ist [mm]\langle E\rangle=0[/mm] oder?
> > >
> > > Nein, das kann nicht sein, denn E [mm]\subseteq \langle E\rangle[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > Aber was ist dann [mm]\langle E\rangle[/mm]?
> > Laut Definition,
> die
> > kleinste Untergruppe von G, die E enthält. Aber das
> > versteh ich nicht. Erklär es mir bitte.
>
> Hallo,
>
> Dir ist klar, daß (wie Du selbst schreibst) (E,+) eine
> Untergruppe von [mm](\IZ,[/mm] +) ist?
>
Kann man sagen, Es ist [mm]E\subseteq \IZ,[/mm] und $<E>=(E,+)$??
Ich dachte die ganze zeit, E sei Untergruppe, dabei ist sie nur Teilmenge.
Also kann [mm] E=\{2,3,4,5\} [/mm] sein. Dann wäre [mm] =\{e*k|e\in E und k\in \IZ\}. [/mm] Stimmt das??
> Es ist [mm]E\subseteq \IZ,[/mm]
> und lt. Definition ist <E> die kleinste Untergruppe von
> [mm]\IZ,[/mm] von welcher E eine Teilmenge ist.
> Alles klar bis hier?
>
> Wenn ja, dann kann es weitergehen:
>
> kann <E> ein Element enthalten, welches nicht in E ist?
> Nein, denn dann wäre <E> nicht die kleinste Untergruppe
> von [mm]\IZ,[/mm] welche E enthält, denn die Untergruppe E ist
> kleiner.
>
> Und <E> kann auch nicht "kleiner" sein als E, denn dann
> wäre E ja nicht in <E> enthalten.
>
>
> > > > Der Durchschnitt aller Untergruppen eben, oder?
>
> Hm. Ich weiß nicht recht, was Du mit dieser Frage
> meinst...
>
> <E> ist der Durchschnitt all der Untergruppen von [mm]\IZ,[/mm]
> welche E enthalten.
> (Nebenbei: es sind nicht viele Untergruppen von [mm]\IZ,[/mm]
> welche E enthalten. Überleg' Dir mal, welche.)
>
> > > >
> > > > Aber laut meinem Skript ist die Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] zyklisch von
> > > > 1 erzeugt.
> > > >
> > > > Da komm ich aber nicht drauf.
> > >
> > > Wann heißt denn eine Gruppe zyklisch ??
> >
> > Wenn es ein [mm]g\in G[/mm] gibt, mit [mm]G=\langle g\rangle[/mm].
> > Ist
> > [mm]\langle g\rangle[/mm] das pendant zu [mm]\langle E\rangle[/mm]?
>
> Kommt darauf an, was Du mit "Pendant" meinst...
>
> <g> ist die kleinste Untergruppe von G, welche das Element
> g enthält, was äquivalent dazu ist, daß <g> der Schnitt
> all jener Untergruppen von g ist, welche das Element g
> enthalten.
Also heißt zyklisch, in dem Fall [mm] $=\{g*k|k\in\IZ\}=G, [/mm] was im Fall [mm] (\IZ,+) [/mm] 1 bedeutet.
Hab ich es jetzt ??
>
> Jetzt schauen wir mal, wieso [mm]\IZ[/mm] von 1 erzeugt wird, wir
> gucken also mal, was in einer jeglichen Untergruppe von
> [mm]\IZ,[/mm] welche die 1 enthält, drin sein muß:
>
> wenn die 1 drin ist, ist auch -1 drin. (Weshalb)
> Wenn 1 und -1 drin sind, sind auch
> [mm]\underbrace{1+1+...+1}_{n-mal}[/mm] und
> [mm]\underbrace{(-1)+(-1)+...+(-1)}_{n-mal}[/mm] drin und natürlich
> auch 1+(-1).
> Hokuspokus, damit haben wir schon [mm]\IZ[/mm] !
>
> Ich hoffe, daß Dir der Sachverhalt allmählich etwas
> klarer wird.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
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> >
> > > > > Nehmen wir mal [mm]G=(\IZ,+)[/mm] und [mm]E=\{2*k|k\in\IZ\}[/mm] eine
> > > > > Untergruppe von [mm]G[/mm].
> Kann man sagen, Es ist [mm]E\subseteq \IZ,[/mm] und [mm]=(E,+)[/mm]??
Hallo,
in dem von Dir gewählten Beispiel, in welchem E eine Untergruppe ist, ist das so.
>
> Ich dachte die ganze zeit, E sei Untergruppe, dabei ist sie
> nur Teilmenge.
Nein. In dem von Dir gewählten Beispiel ist E eine teilmenge, welche auch eine Untergruppe ist.
Aber ein Erzeugendensystem muß nicht unbedingt eine Untergruppe sein. Es wird ja [mm] \IZ [/mm] von der 1 erzeugt, und [mm] (\{1\},+) [/mm] ist sicher keine Untergruppe von [mm] \IZ.
[/mm]
>
> Also kann [mm]E=\{2,3,4,5\}[/mm] sein.
Ich weiß nicht recht, was Du meinst. Gibt das jetzt ein neues Beispiel?
Willst Du wissen, was [mm] <\{2,3,4,5\}> [/mm] ist?
> Dann wäre [mm]=\{e*k|e\in E und k\in \IZ\}.[/mm]
> Stimmt das??
Nein, so stimmt das noch nicht.
Richtig ist, daß in <E> die ganzen Vielfachen, die Du nennst, enthalten sind. Aber noch mehr ist drin, nämlich die ganzen Summen, die man aus diesen Vielfachen bilden kann.
Insbesondere ist 3-2=1 drin, und folglich ist <E>= ???
Schau Dir in diesem Zusammenhang nochmal an, was Du selbst geschrieben hast:
> > > > Für $ [mm] $g_1,...,g_k\in [/mm] $ G$ ist $ [mm] $\langle g_1,...,g_k \rangle =\{\produkt_{i=1}^{r} t_i|r\ge 0$ und $t_i\in \{g_1,g_1^{-1},...,g_k,g_k^{-1}\}\} [/mm] $
Bedenke hierbei, daß wir [mm] \IZ [/mm] als additive Gruppe betrachten.
"Übersetze" das, wa Du für eine multiplikative Grauppe G notiert hast, doch mal für eine additive.
> > > > > Aber laut meinem Skript ist die Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] zyklisch von
> > > > > 1 erzeugt.
> Also heißt zyklisch, in dem Fall [mm]$=\{g*k|k\in\IZ\}=G,[/mm]
> was im Fall [mm](\IZ,+)[/mm] 1 bedeutet.
>
> Hab ich es jetzt ??
Ich weiß nicht. Ich kann den Satz nicht verstehen.
Richtig ist, daß [mm] \IZ=<1>, [/mm] falls Du das ausdrücken wolltest.
Gruß v. Angela
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> > >
> > > > > > Nehmen wir mal [mm]G=(\IZ,+)[/mm] und [mm]E=\{2*k|k\in\IZ\}[/mm] eine
> > > > > > Untergruppe von [mm]G[/mm].
>
>
> > Kann man sagen, Es ist [mm]E\subseteq \IZ,[/mm] und [mm]=(E,+)[/mm]??
>
> Hallo,
>
> in dem von Dir gewählten Beispiel, in welchem E eine
> Untergruppe ist, ist das so.
>
> >
> > Ich dachte die ganze zeit, E sei Untergruppe, dabei ist sie
> > nur Teilmenge.
>
> Nein. In dem von Dir gewählten Beispiel ist E eine
> teilmenge, welche auch eine Untergruppe ist.
>
> Aber ein Erzeugendensystem muß nicht unbedingt eine
> Untergruppe sein. Es wird ja [mm]\IZ[/mm] von der 1 erzeugt, und
> [mm](\{1\},+)[/mm] ist sicher keine Untergruppe von [mm]\IZ.[/mm]
>
> >
> > Also kann [mm]E=\{2,3,4,5\}[/mm] sein.
>
> Ich weiß nicht recht, was Du meinst. Gibt das jetzt ein
> neues Beispiel?
>
> Willst Du wissen, was [mm]<\{2,3,4,5\}>[/mm] ist?
>
Ja, genau das wollte ich.
>
> > Dann wäre [mm]=\{e*k|e\in E und k\in \IZ\}.[/mm]
> > Stimmt das??
>
> Nein, so stimmt das noch nicht.
>
> Richtig ist, daß in <E> die ganzen Vielfachen, die Du
> nennst, enthalten sind. Aber noch mehr ist drin, nämlich
> die ganzen Summen, die man aus diesen Vielfachen bilden
> kann.
> Insbesondere ist 3-2=1 drin, und folglich ist <E>= ???
[mm] $=(\{e*k|e\in E$ und $k\in \IZ\},+).
[/mm]
Also die Untergruppe, die aus den Vielfachen der Teilmenge E besteht, mit der Verknüpfung +.
Aber das kann ja auch nicht stimmen, weil die 1 darin nicht enthalten ist.
Irgendwie komm ich nur darauf, das [mm] =\IZ [/mm] ist.
Ich hab hier immernoch einen Denkfehler auf den ich nicht komme.
> Schau Dir in diesem Zusammenhang nochmal an, was Du selbst
> geschrieben hast:
> > > > > Für $ [mm]$g_1,...,g_k\in[/mm] $ G$ ist $ [mm]$\langle g_1,...,g_k \rangle =\{\produkt_{i=1}^{r} t_i|r\ge 0$ und $t_i\in \{g_1,g_1^{-1},...,g_k,g_k^{-1}\}\}[/mm]
> $
>
> Bedenke hierbei, daß wir [mm]\IZ[/mm] als additive Gruppe
> betrachten.
> "Übersetze" das, wa Du für eine multiplikative Grauppe G
> notiert hast, doch mal für eine additive.
>
Ich dachte [mm] (\IZ,*) [/mm] gibt es nicht als Gruppe.
Meinst Du damit
[mm]$\langle g_1,...,g_k \rangle =\{\summe_{i=1}^{r} t_i|r\ge 0$ und $t_i\in \{g_1,g_1^{-1},...,g_k,g_k^{-1}\}\}[/mm]
>
>
> > > > > > Aber laut meinem Skript ist die Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] zyklisch von
> > > > > > 1 erzeugt.
>
> > Also heißt zyklisch, in dem Fall [mm]$=\{g*k|k\in\IZ\}=G,[/mm]
> > was im Fall [mm](\IZ,+)[/mm] 1 bedeutet.
> >
> > Hab ich es jetzt ??
>
> Ich weiß nicht. Ich kann den Satz nicht verstehen.
> Richtig ist, daß [mm]\IZ=<1>,[/mm] falls Du das ausdrücken
> wolltest.
>
> Gruß v. Angela
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> > > Also kann [mm]E=\{2,3,4,5\}[/mm] sein.
> > > Dann wäre [mm]=\{e*k|e\in E und k\in \IZ\}.[/mm]
> > > Stimmt das??
> >
> > Nein, so stimmt das noch nicht.
> >
> > Richtig ist, daß in <E> die ganzen Vielfachen, die Du
> > nennst, enthalten sind. Aber noch mehr ist drin, nämlich
> > die ganzen Summen, die man aus diesen Vielfachen bilden
> > kann.
> > Insbesondere ist 3-2=1 drin, und folglich ist <E>= ???
>
>
> [mm]$=(\{e*k|e\in E$ und $k\in \IZ\},+).[/mm]
> Also die
> Untergruppe, die aus den Vielfachen der Teilmenge E
> besteht, mit der Verknüpfung +.
>
> Aber das kann ja auch nicht stimmen, weil die 1 darin nicht
> enthalten ist.
Hallo,
ja, so ist es.
> Irgendwie komm ich nur darauf, das [mm]=\IZ[/mm] ist.
Das stimmt ja auch.
> > Schau Dir in diesem Zusammenhang nochmal an, was Du selbst
> > geschrieben hast:
> > > > > > Für $ [mm]$g_1,...,g_k\in[/mm] $ G$ ist $ [mm]$\langle g_1,...,g_k \rangle =\{\produkt_{i=1}^{r} t_i|r\ge 0$ und $t_i\in \{g_1,g_1^{-1},...,g_k,g_k^{-1}\}\}[/mm]
> > $
> >
> > Bedenke hierbei, daß wir [mm]\IZ[/mm] als additive Gruppe
> > betrachten.
> > "Übersetze" das, wa Du für eine multiplikative
> Grauppe G
> > notiert hast, doch mal für eine additive.
> >
>
> Ich dachte [mm](\IZ,*)[/mm] gibt es nicht als Gruppe.
Hab' ich ja auch nicht gesagt, daß es eine ist.
Aber irgendwelche gruppen, die man multiplikativ schreibt, gibt es ja.
Was ich sagen wollte:
Hier
> [mm]$\langle g_1,...,g_k \rangle =\{\summe_{i=1}^{r} t_i|r\ge 0$ und $t_i\in \{g_1,g_1^{-1},...,g_k,g_k^{-1}\}\}[/mm]
notierst Du für eine multiplikative Gruppe [mm] (G,\*), [/mm] was das Erzeugnis von k ihrer Elemente ist,
und ich schlug Dir vor, dies mal für eine additive Gruppe (H,+) aufzuschreiben.
Gruß v. Angela
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