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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 22.11.2007 | | Autor: | baxi |
| Aufgabe | | Beweise durch vollständige Induktion, dass die Funktion f mit [mm] f(x)=x/(e^x) [/mm] die n-te Ableitung f ^(n)(x)=((-1)^ n [mm] mal(x-n))/e^x [/mm] für n>=1 besitzt. |
Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo baxi,
> Beweise durch vollständige Induktion, dass die Funktion f
> mit [mm]f(x)=x/(e^x)[/mm] die n-te Ableitung f ^(n)(x)=((-1)^ n
> [mm]mal(x-n))/e^x[/mm] für n>=1 besitzt.
> Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich beweise stattdessen:
[mm]f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}ne^{-x} + (-1)^nf(x)\;\forall n\in\mathbb{N}_{\ge 1}.[/mm]
Für [mm]n=1\![/mm] gilt:
[mm]f'(x) = e^{-x} - f(x).[/mm]
Angenommen die Aussage gelte für alle [mm]n\![/mm]. Dann überprüfe man, ob sie auch für [mm]n+1\![/mm] gilt. Nach der Induktionsannahme rechnen wir:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\left[(-1)^{n+1}ne^{-x} + (-1)^nf(x)\right] = (-1)^{n+1}(-1)ne^{-x} + (-1)^n\left(e^{-x} - f(x)\right)[/mm]
[mm] = (-1)^2(-1)^nne^{-x} + (-1)^ne^{-x} +(-1)(-1)^nf(x)=(-1)^n(n+1)e^{-x} +(-1)^{n+1}f(x)[/mm]
[mm]=(-1)^{n+2}(n+1)e^{-x} +(-1)^{n+1}f(x)[/mm]
Du mußt jetzt nur noch zeigen, daß diese Darstellung mit deiner Formel identisch ist, die Formeln also gleichsetzen.
Viele Grüße
Karl
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Hallo baxi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
du kannst das auch direkt per Induktion zeigen:
Im Induktionsanfang für [mm] $\red{n=1}$ [/mm] musst du zeigen, dass die erste Ableitung
$f'(x)$ die Gestalt hat [mm] $(-1)^{\red{1}}\cdot{}\frac{x-\red{1}}{e^x}$
[/mm]
Leite dazu f ab und bringe es in die entsprechende Form
Im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ musst du unter der
Induktionsvoraussetzung [mm] $f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot{}\frac{x-n}{e^x}$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] zeigen, dass
die (n+1)-te Ableitung [mm] $f^{(n+1)}(x)$ [/mm] sich gefälligst in der Gestalt [mm] $(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{x-(n+1)}{e^x}$ [/mm] schreiben lässt
Die (n+1)-te Ableitung bekommst du, indem du die n-te Ableitung ableitest, die nach Induktionsvoraussetzung ja [mm] $(-1)^n\cdot{}\frac{x-n}{e^x}$ [/mm] ist.
Tue dies mal und bringe es in die gewünschte Form
LG
schachuzipus
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