vollständige induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Kann mir jemand die vorletzte Zeile in der Aufgabe 3 der folgender URL erlären?
http://www.mathematik.hu-berlin.de/%7Ejkoven/mathe/induktionsbsp/induktionsbsp.html
Wieso ist der Ausdruck plötzlich durch 133 teilbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo spacephreak!
Du willst ja zeigen, dass
[mm] $133\, \vert\, [11^{(k+1)+1} [/mm] + [mm] 12^{2(k+1)-1}]$
[/mm]
gilt. Dann formst du um:
(*) [mm] $11^{(k+1)+1}+12^{2(k+1)-1} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] 11\cdot (11^{k+1} [/mm] + [mm] 12^{2k-1}) [/mm] + 133 [mm] \cdot 12^{2k-1}$.
[/mm]
Wenn du zeigen kannst, dass $133$ beide Summanden teilt, dann gilt auch, dass $133$ die Summe (die rechte Seite von (*)) und damit die linke Seite von (*) teilt, wie behauptet.
Aber: Nach Induktionsvoraussetzung gilt ja:
[mm] $133\, \vert\, [11^{k+1} [/mm] + [mm] 12^{2k-1}]$,
[/mm]
d.h. $133$ teilt den ersten Summanden.
Aber der zweite Summand ist ja $133 [mm] \cdot 12^{2k-1}$, [/mm] also ein Vielfaches von $133$ und wird damit auch von $133$ geteilt (sozusagen nach Definition).
Damit teilt $133$ beide Summanden (den eine nach Induktionsvoraussetzung, den andere per definitionem), also die Summe (d.h. die rechte Seite von (*)) und damit auch die linke Seite von (*).
Jetzt alles klar? 
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
Hi
Danke erstmal. So wie du das beschrieben hast hab ich das auch verstanden, aber mein Denkproblem liegt an der Induktionsvorraussetzung. Die Induktionsvorraussetzung ist für mich kein Beweiß. Die besagt ja nur, dass es für [mm] \exists [/mm] n [mm] \varepsilon \IN [/mm] die Gleichung stimmt, aber nicht für [mm] \forall [/mm] n [mm] \varepsilon \IN.
[/mm]
Deswegen setze ich ja n+1 ein. Aber wenn ich dann wieder bei dem linken Summanden die Induktionsvorraussetzung habe, dann gilt der linke Summand doch auch wieder nur für n und nicht für n+1. Oder hab ich da was falsch verstanden:)
Mfg
markus
|
|
|
| |
|
Grüße!
Das Induktionprinzip mußt Du Dir vorstellen wie eine Kette von Dominosteinen. Unendlich viele, aneinander aufgereiht, so wie die natürlichen Zahlen. (Sprich: die Dominosteine sind durchnumeriert).
Jetzt haben wir eine Aussage, in der eine natürliche Zahl $n$ vorkommt, z.B. $1 + 2 + 3 + [mm] \ldots [/mm] + n = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$. [/mm] Und jetzt stell Dir vor, dass wir definieren: "Der Dominostein mit der Nummer $n$ fällt genau dann um, wenn die Aussage für die Zahl $n$ richtig ist."
Jetzt für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] alles nachzuweisen wäre zu mühsam - keiner hat unendlich viel Zeit. Daher benutzt man das Induktionprinzip. Man zeigt zunächst den Induktionsanfang:
Die Aussage gilt für $1 [mm] \in \IN$.
[/mm]
Das ist meist leicht zu zeigen (man setzt ein, rechnet nach und ist glücklich). In unser Bild übertragen heißt das: der erste Dominostein fällt.
Jetzt kommt der Clou: wir zeigen nun den Induktionsschritt - WENN die Aussage für irgendeine Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, DANN auch für ihren Nachfolger: $n + 1 [mm] \in \IN$. [/mm] Das heißt, wir müssen eine Wenn-Dann Aussage beweisen und das wiederum heißt, dass wir den "Wenn" Teil als gegeben annehmen - wir müssen nicht zeigen, dass der auch gilt.
Wieder in das Bild übersetzt: wir beweisen, dass wenn irgendein Dominostein mit der Nummer $n$ fällt, dieser seinen Nachbarn ($n+1$) mit umreißt.
Und dann sind wir fertig! Wir haben nämlich gezeigt, dass der erste Stein fällt und das mit jedem Stein auch der Nachfolger fällt. Also fällt der zweite (als Nachfolger vom ersten) und der dritte (als Nachfolger vom zweiten) usw.
Das ist das Prinzip. Wenn man daran nicht gewöhnt ist, dann sieht es aus wie gemogelt, das gebe ich zu, aber das ist es nicht, weil man ja den wichtigen Induktionsanfang auch hat - ohne den läuft überhaupt nichts!
Alles klar soweit? In Deinem Beispiel stellst Du Dir vor, dass es für die Zahl $n$ schon gilt und zeigst unter dieser Voraussetzung, dass es dann auch für den Nachfolger gilt. Und da es für 1 gilt, fällt die ganze Steinkette um!
Also, wenn noch Fragen sind: einfach fragen!
Lars
|
|
|
| |
|
Hi
Danke für die Antwort. Jetzt versteh ich es:)
Mfg
Markus
PS: Das Forum gefällt mir nicht unbedingt vom Design her, aber inhaltlich ist das super!!!
|
|
|
|
