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| Aufgabe | Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k(k+1)=1*2+2*3+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2) / 3 |
Induktionsanfang: Für n=1 ist 1(1+1) = 2 und [mm] 1(1+1)(1+2)\3 [/mm] = 2 wahr.
Induktionsschritt: Für ein beliebiges aber fest n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k(k+1) = n(n+1)(n+2) / 3
Zu zeigen: A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)
Dann gilt: (linke Seite)
[mm] \summe_{k=1}^{n} k(k+1)+\summe_{k=n+1}^{n+1} [/mm] k(k+1) =
[mm] \bruch{n(n+1)(n+2)}{3} [/mm] + (n+1(n+1+1)) =
[mm] \bruch{(n²+n)(n+2)}{3} [/mm] + (n+1(n+2)) =
[mm] \bruch{n^3+2n^2+n^2+2n}{3} [/mm] + [mm] n^2+3n+2 [/mm] = (erweitern mit 3/3)
[mm] \bruch{n^3+3n^2+2n}{3} [/mm] + [mm] \bruch{3(n^2+3n+2)}{3} [/mm] =
[mm] \bruch{n^3+3n^2+2n+3n^2+9n+6}{3} [/mm] =
[mm] \bruch{n^3+6n^2+11n+6}{3}
[/mm]
(rechte Seite)
[mm] \bruch{(n+1) (n+1+1) (n+1+2)}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1) (n+2) (n+3)}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{(n^2+2n+n+2)(n+3)}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{(n^2+3n+2)(n+3)}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{n^3+3n^2+2n+3n^2+9n+6}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{n^3+6n^2+11n+6}{3}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo gosejohann!
Eine Bitte vorneweg: neue Aufgaben bitte in einem neuen Thread stellen, danke.
Deine Rechnung ist korrekt, wenn auch nicht sehr elegant, da Du hier ziemlich mühselig alles ausmultiplizierst.
Eleganter wäre es, die "linke Seite" geschickt umzuformen, z.B. durch Ausklammern:
[mm]... \ = \ \bruch{n*(n+1)*(n+2)}{3} + (n+1)*(n+2) \ = \ \bruch{n*(n+1)*(n+2)}{3}+\bruch{3*(n+1)*(n+2)}{3} \ = \ \bruch{\red{n}*\blue{(n+1)*(n+2)}+\red{3}*\blue{(n+1)*(n+2)}}{3} \ = \ \bruch{\blue{(n+1)*(n+2)}*(\red{n+3})}{3}[/mm]
Fertig.
Gruß
Loddar
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