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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Do 04.11.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Man zeige durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen
[mm] \bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^4}{4}
[/mm]
eine ganze Zahl ist! |
Hallo, ich bins nochmal.
Also der Induktionsanfang mit n=0 stimmt.
Ich weiß leider garnicht, wie ich bei dieser Aufgabe den Induktionsschluss machen soll.
Das hier
[mm] \bruch{2(n+1)}{3}+\bruch{(n+1)^2}{4}-\bruch{(n+1)^3}{6}+\bruch{(n+1)^4}{4}
[/mm]
muss ja dann ganzzahlig sein.
Also [mm] \bruch{2}{3}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}=1.
[/mm]
Aber ob das was damit zu tun hat?
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Hallo stffn,
> Man zeige durch vollständige Induktion, dass für alle
> natürlichen Zahlen
> [mm]\bruch{2n}{3}+\bruch{n^2}{4}-\bruch{n^3}{6}+\bruch{n^4}{4}[/mm]
> eine ganze Zahl ist!
> Hallo, ich bins nochmal.
> Also der Induktionsanfang mit n=0 stimmt.
> Ich weiß leider garnicht, wie ich bei dieser Aufgabe den
> Induktionsschluss machen soll.
> Das hier
>
> [mm]\bruch{2(n+1)}{3}+\bruch{(n+1)^2}{4}-\bruch{(n+1)^3}{6}+\bruch{(n+1)^4}{4}[/mm]
> muss ja dann ganzzahlig sein.
> Also
> [mm]\bruch{2}{3}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}=1.[/mm]
> Aber ob das was damit zu tun hat?
?? Rechne diesen Ausdruck oben zusammen, wende die IV an:
[mm]=\frac{2n+2}{3}+\frac{n^2+2n+1}{4}-\frac{n^3+3n^2+3n+1}{6}+\frac{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}{4}[/mm]
[mm]=\underbrace{\left(\frac{2n}{3}+\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{6}+\frac{n^4}{4}\right)}_{\in\IZ \ \text{nach IV}}+\left[\frac{2}{3}+\frac{2n+1}{4}-\frac{3n^2+3n+1}{6}+\frac{4n^3+6n^2+4n+1}{4}\right][/mm]
Nun rechne das Gezuppel in der eckigen Klammer mal zusammen (mache gleichnamig und schreibe alles auf einen Bruchstrich).
Dann löst sich alles in Wohlgefallen auf.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Fr 05.11.2010 | | Autor: | stffn |
Danke!
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