vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Do 18.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] 2^{2n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+1 \\ 2k+1} [/mm] |
Hallo,
Also ich kenne bisher bereits den Binomischen Lehrsatz, aber weiß nicht so recht wie ich ihn anwenden soll, wobei ich aus dem Lehrsatz schon mal folgern kann, dass [mm] 2^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}. [/mm] Wenn ichs mit Induktion zu beweisen versuche, scheiter ich beim Induktionsschritt (diese Aufgabe muss nicht zwangsläufig über Induktion gelöst werden). Außerdem weiß ich weiterhin, dass [mm] \vektor{n+1 \\ k}=\vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] . Die Frage is, ob mir das hilft. Wäre euch für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
|
|
| |
|
> Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> [mm]2^{2n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+1 \\ 2k+1}[/mm]
> Hallo,
> Also ich kenne bisher bereits den Binomischen Lehrsatz,
> aber weiß nicht so recht wie ich ihn anwenden soll, wobei
> ich aus dem Lehrsatz schon mal folgern kann, dass
> [mm]2^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}.[/mm] Wenn ichs mit
> Induktion zu beweisen versuche, scheiter ich beim
> Induktionsschritt (diese Aufgabe muss nicht zwangsläufig
> über Induktion gelöst werden). Außerdem weiß ich weiterhin,
> dass [mm]\vektor{n+1 \\ k}=\vektor{n \\ k}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm]
> . Die Frage is, ob mir das hilft. Wäre euch für jede Hilfe
> dankbar.
>
> Viele Grüße
Betrachte die Binomialentwicklung für [mm] (a+b)^{2\,n+1} [/mm] und
den Spezialfall davon mit $\ a=b=1$. Die in der Bino-
mialentwicklung auftretenden Koeffizienten stehen
in einer Zeile des Pascalschen Dreiecks. Betrachte
eine solche Zeile, z.B. für den Fall $\ n=3$ , also
$\ 2*n+1=7$.
Dann meditiere und erwarte die Erleuchtung ... ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 18.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Das Pascaldreieck hatten wir in der Vorlesung leider nicht, dürfen wir somit also für den Beweis auch nicht verwenden.
Aber nach Lehrsatz müsste gelten [mm] 2^{2n+1}= \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+1 \\ k}, [/mm] aber ich weiß einfach nicht, wie ich weiterkommen soll. Ich weiß, dass [mm] \vektor{n \\ n}=\vektor{n \\ 0} [/mm] aus Symmetriegründen, und [mm] \vektor{n \\ n}+ \vektor{n \\ 0}=2 \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] hilft mir das vllt. weiter?, auch wenn ich nich wüsste wie.
Vielen Dank für jede Hilfe schonmal im voraus
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo ms,
> Das Pascaldreieck hatten wir in der Vorlesung leider nicht,
> dürfen wir somit also für den Beweis auch nicht verwenden.
Das Einmaleins habt ihr in der Vorlesung auch nicht behandelt.
Dürft ihr deswegen solche Dinge wie "$\ 3*7=21$" nicht verwenden ?
Übrigens kann man die Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks
(insbesondere die Symmetrieeigenschaften) auch formulieren
und beweisen, ohne den Begriff "Pascalsches Dreieck" überhaupt
zu verwenden.
> Aber nach Lehrsatz müsste gelten [mm]2^{2n+1}= \summe_{k=0}^{\red{n}}\vektor{2n+1 \\ k},[/mm]
An der Stelle des rot markierten n müsste 2n+1 stehen.
Teile die Summe in zwei separate Summen auf, wobei
in der einen nur die geraden k-Werte und in der anderen
nur die ungeraden k berücksichtigt werden.
Wegen der Symmetrieeigenschaft
[mm] $\vektor{n\\k}=\vektor{n\\n-k}$
[/mm]
bzw. hier
[mm] $\vektor{2\,n+1\\k}=\vektor{2\,n+1\\2\,n+1-k}$ [/mm]
kann man zeigen, dass die Summanden der beiden Summen
paarweise identisch (nur umgekehrt angeordnet) sind.
Mit dieser Überlegung kommt man dann leicht zum Ziel.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 18.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Jetz glaub ich, könnt ichs haben:
Wir wissen nach Lehrsatz: [mm] 2^{2n+1}= \summe_{k=0}^{2n+1} \vektor{2n+1 \\ k} [/mm] und [mm] 0^{2n+1}= \summe_{k=0}^{2n+1} \vektor{2n+1 \\ k}*(-1)^{k}
[/mm]
Also ist [mm] 2^{2n+1}= \summe_{k=0}^{2n+1} \vektor{2n+1 \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{2n+1 \\ k}*(-1)^{k}.
[/mm]
Da alle ungeraden Glieder nun wegfallen ergibt sich: [mm] 2*\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2k}. [/mm] Aus Symmetriegründen ist [mm] \vektor{2n+1 \\ 2n+1-2k}= \vektor{2n+1 \\ 2k}. [/mm] Jetzt sei 2n-2k=2i, so dass gilt: = [mm] 2*\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2i+1} [/mm] das ganz nun noch durch 2 geteilt, daraus folgt die Behauptung [mm] \Box
[/mm]
Stimmt das soweit?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
> Jetz glaub ich, könnt ichs haben:
> Wir wissen nach Lehrsatz: [mm]2^{2n+1}= \summe_{k=0}^{2n+1} \vektor{2n+1 \\ k}[/mm]
> und [mm]0^{2n+1}= \summe_{k=0}^{2n+1} \vektor{2n+1 \\ k}*(-1)^{k}[/mm]
>
> Also ist [mm]2^{2n+1}= \summe_{k=0}^{2n+1}\blue{\left(} \vektor{2n+1 \\ k}+ \vektor{2n+1 \\ k}*(-1)^{k}\blue{\right)}[/mm]
Ich habe da noch die Klammern eingesetzt.
> Da alle ungeraden Glieder nun
> wegfallen ergibt sich: [mm]2*\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2k}.[/mm]
> Aus Symmetriegründen ist [mm]\vektor{2n+1 \\ 2n+1-2k}= \vektor{2n+1 \\ 2k}.[/mm]
> Jetzt sei 2n-2k=2i, so dass gilt: = [mm]2*\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2i+1}[/mm]
> das ganz nun noch durch 2 geteilt, daraus folgt die
> Behauptung [mm]\Box[/mm]
> Stimmt das soweit ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
> Viele Grüße
Wenn du den "Trick" mit der Entwicklung von $\ [mm] 0^{\,2n+1}$
[/mm]
so einsetzt, dass du statt der Summe $\ [mm] 2^{\,2n+1}\,\textbf{\red{\,+\ }}\,0^{\,2n+1}$
[/mm]
die Differenz $\ [mm] 2^{\,2n+1}\,\textbf{\blue{\,-\ }}\,0^{\,2n+1}$ [/mm] bildest, geht es noch
etwas kürzer, denn dann bleiben gleich die Glieder mit
ungeraden Nummern übrig.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Fr 19.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke dir vielmals
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Do 18.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Das Pascaldreieck hatten wir in der Vorlesung leider nicht,
> dürfen wir somit also für den Beweis auch nicht verwenden.
Na und?
Die Summe einer kompletten Zeile des Pascalschen Dreiecks ist immer eine Zweierpotenz:
[mm] 1=2^0
[/mm]
[mm] 1+1=2=2^1
[/mm]
[mm] 1+2+1=4=2^2
[/mm]
[mm] 1+3+3+1=8=2^3
[/mm]
[mm] 1+4+6+4+1=16=2^4
[/mm]
usw.
Das lässt sich auch mit Binomialkoeffizienten induktiv beweisen.
Bei einer geraden Anzahl von Summanden (d.h. bei ungeraden Exponenten)
treten alle Zahlen dieser Zeile doppelt und symmetrisch auf, also ergibt auch die "vordere Hälfte" der Binomialkoeffizienten genau die Hälfte der gesamten Zweierpotenz (und die Hälfte einer Zweierpotenz ist auch eine Zweierpotenz).
Hochschulmathematik ist schön und gut, aber wenigstens den Zugang zu Problemstellungen darf man auch mal recht trivial und "volksnah" finden.
Gruß Abakus
> Aber nach Lehrsatz müsste gelten [mm]2^{2n+1}= \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+1 \\ k},[/mm]
> aber ich weiß einfach nicht, wie ich weiterkommen soll. Ich
> weiß, dass [mm]\vektor{n \\ n}=\vektor{n \\ 0}[/mm] aus
> Symmetriegründen, und [mm]\vektor{n \\ n}+ \vektor{n \\ 0}=2 \forall[/mm]
> n [mm]\in \IN,[/mm] hilft mir das vllt. weiter?, auch wenn ich nich
> wüsste wie.
> Vielen Dank für jede Hilfe schonmal im voraus
>
> Viele Grüße
|
|
|
|
