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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 03.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Seien [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} \in \IR^{+} [/mm] und n [mm] \in \IN \{0} [/mm] . Zeigen Sie, dass folgende Ungleichung stets erfüllt ist:
[mm] \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n} a_{i}}\le \wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n} a_{i}} \le \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] |
Hallo,
also zunächst will ich zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n} a_{i}} \le \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i}. [/mm] Also reicht es ja zu zeigen. dass [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} \le (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i})^{n}.
[/mm]
Gut, der Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung sind wieder mal klar, nur im Induktionsschritt hänge ich total und dreh mich ständig im Kreis. Ich weiß, dass ich auf jeden Fall auf etwas kommen muss von der Form [mm] (1+x)^{n+1} [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] -1 um die Bernoulli-Ungleichung anwenden zu können und den Apparat nach unten abschätzen zu können, nur komme ich da einfach nich drauf. Könnt mir da eventuell jemand nen Tipp zu geben, bitte.
Sobald ich diese Richtung hab, geht die 2. Ungleichung ja ziemlich schnell mittels von Kehrbrüchen, so wie ich das seh.
Viele Grüße
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Hallo ms2008de,
> Seien [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{n} \in \IR^{+}[/mm] und n [mm]\in \IN \{0}[/mm] .
> Zeigen Sie, dass folgende Ungleichung stets erfüllt ist:
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n} a_{i}}\le \wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n} a_{i}} \le \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i}[/mm]
>
> Hallo,
> also zunächst will ich zeigen, dass
> [mm]\wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n} a_{i}} \le \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i}.[/mm]
> Also reicht es ja zu zeigen. dass [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i} \le (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i})^{n}.[/mm]
>
> Gut, der Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung
> sind wieder mal klar, nur im Induktionsschritt hänge ich
> total und dreh mich ständig im Kreis. Ich weiß, dass ich
> auf jeden Fall auf etwas kommen muss von der Form
> [mm](1+x)^{n+1}[/mm] mit x [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-1 um die Bernoulli-Ungleichung
> anwenden zu können und den Apparat nach unten abschätzen zu
> können ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist ne gute Idee!
> , nur komme ich da einfach nich drauf. Könnt mir da
> eventuell jemand nen Tipp zu geben, bitte.
> Sobald ich diese Richtung hab, geht die 2. Ungleichung ja
> ziemlich schnell mittels von Kehrbrüchen, so wie ich das
> seh.
Für den Induktionsschritt $n\to n+1$ nimm oBdA an, dass $x_{n+1}=\max\limits_{i\in\{1,...,n+1\}}\{x_i\}$ und zur einfacheren Schreibweise bezeichen mit $x_{ar}$ das arithmetische Mittel von $x_1,....,x_n$, also $x_{ar}=\frac{1}{n}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^nx_i$
Dann ist $\red{x_{n+1}-x_{ar}\ge 0}$ (da $x_{n+1}$ ja max. gewählt war)
Mit Bernoulli also $\blue{\left(\frac{x_1+....+x_{n+1}}{(n+1)\cdot{}x_{ar}}\right)^{n+1}}\underbrace{=}_{\text{nachrechnen!}}\left(1+\frac{\red{x_{n+1}-x_{ar}}}{(n+1)\cdot{}x_{ar}}\right)^{n+1}$
$\underbrace{\ge}_{\text{Bernoulli}} \ 1+(n+1)\cdot{}\frac{\red{x_{n+1}-x_{ar}}}{(n+1)\cdot{}x_{ar}}=1+\frac{x_{n+1}-x_{ar}}{x_{ar}}=\frac{x_{ar}}{x_{ar}}+\frac{x_{n+1}-x_{ar}}{x_{ar}}=\blue{\frac{x_{n+1}}{x_{ar}}}$
Also im Induktionsschritt: (IV ist: $x_{ar}^n=\left(\frac{1}{n}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^nx_i}\right)^n\ge\prod\limits_{i=1}^nx_i=x_1\cdot{}....\cdot{}x_n$)
$\left(\frac{1}{n+1}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i\right)^{n+1}=\blue{\left(\frac{x_1+....+x_{n+1}}{n+1}\right)^{n+1}}\ge \underbrace{x_{ar}^{n+1}}_{\text{im Vgl. zu oben aus dem Nenner geholt}}\cdot{}\blue{\frac{x_{n+1}}{x_{ar}}}=x_{ar}^n\cdot{}x_{n+1}\underbrace{\ge}_{\text{IV}} x_1\cdot{}x_2\cdot{}....\cdot{}x_n\cdot{}x_{n+1}=\prod\limits_{i=1}^{n+1}x_i$
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Mi 03.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank für die Mühe, habs verstanden
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