vollständige Induktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Di 24.03.2009 | | Autor: | aleskos |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(2i-1)(2i+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1} \forall n\in\IN [/mm] |
Hallo erstmal,
komme hier nicht klar.
Induktion Anfang habe ich bereits auf dem Papier, ist ja nicht schwer,
ich nahm an, dass n=1 ist, links und rechts eingestzt, kommt 1/3 raus, also stimmt.
Nun wie geht es weiter. Bitte um kurzen Ansatz.
Danke schon mal schön im Voraus.
aleskos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Di 24.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nachdem der Induktionsanfang getan ist, kannst du nun
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(2i-1)(2i+1)}=\bruch{n}{2n+1} [/mm] für ein bestimmtes n als Induktionsannahme verwenden.
Du musst nun nur noch zeigen, dass die Formel auch für n+1 gilt.
Zu zeigen:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{(2i-1)(2i+1)}=\bruch{n+1}{2(n+1)+1}
[/mm]
Jetzt würde ich mit der linken Seite anfangen.
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{(2i-1)(2i+1)}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(2i-1)(2i+1)}+\bruch{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}=\bruch{n}{2n+1}+\bruch{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}=...
[/mm]
Und irgendwann solltest du das zu [mm] \bruch{n+1}{2(n+1)+1} [/mm] umgeformt haben.
Damit wäre diese Gleichung für alle n [mm] \in \IN [/mm] bewiesen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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