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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Di 25.11.2008 | | Autor: | juel |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(n + 1)²} [/mm] |
Ich komm irgendwie nicht weiter.... ich hab zuerst den IA gemacht dann vesucht den Beweis auf zu stellen..
[mm] \summe_{i=1}^{1} \bruch{2\*1 + 1}{1²\* (1+1)²} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] =1 - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(1+1)²}
[/mm]
nun weiß ich aber nicht wie ich das mit der Formel beweisen soll
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²} [/mm] = [mm] \bruch{2\*k + 1}{k^{4} + 2\*k^{3} + k²} [/mm] .......
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²}[/mm] = 1 -
> [mm]\bruch{1}{(n + 1)²}[/mm]
> Ich komm irgendwie nicht weiter....
> ich hab zuerst den IA gemacht dann vesucht den Beweis auf
> zu stellen..
>
> [mm]\summe_{i=1}^{1} \bruch{2\*1 + 1}{1²\* (1+1)²}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm] =1 - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(1+1)²}[/mm]
>
> nun weiß ich aber nicht wie ich das mit der Formel beweisen
> soll
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ist Dir denn das Prinzip der  Induktion bekannt und halbwegs klar.
Ich rate Dir dringend, alles ordentlich aufzuschreiben.
Also
Zu zeigen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(n + 1)²}[/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Induktionsanfang: den hast Du
Induktionsvoraussetzung: es gilt [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²}[/mm] [/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(n + 1)²}[/mm] für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
Induktionsschluß [mm] n\to [/mm] n+1:
Behauptung: dann gilt auch [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²}[/mm] [/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(n+1 + 1)²}[/mm]
Beweis:
Es ist [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²}[/mm] [/mm] = nun versucht man, dei induktionsannahme irgendwie ins Spiel zu bringen
[mm] =\summe_{i=1}^{n} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²}[/mm] [/mm] + [mm] \bruch{2\*(n+1) + 1}{k² \* ((n+1)+ 1)²}
[/mm]
= versuche oben nun, die Induktionsannahme zu verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Di 25.11.2008 | | Autor: | juel |
hallo Angela
danke für deine Antwort
ich hab das jetzt mal versuch zu rechnen, komm aber nicht von
$ [mm] =\summe_{i=1}^{n} \bruch{2*k + 1}{k² * (k + 1)²} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{2*(n+1) + 1}{k² * ((n+1)+ 1)²} [/mm] $
auf
1 - $ [mm] \bruch{1}{(n+1 + 1)²} [/mm] $
das mit dem Beweis versteh ich so einigermaßen, aber mir fällt es schwer es umzuformen.
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> hallo Angela
> danke für deine Antwort
> ich hab das jetzt mal versuch zu rechnen, komm aber nicht
> von
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{n} \bruch{2*k + 1}{k² * (k + 1)²}[/mm] +
> [mm]\bruch{2*(n+1) + 1}{k² * ((n+1)+ 1)²}[/mm]
>
> auf
>
> 1 - [mm]\bruch{1}{(n+1 + 1)²}[/mm]
Hallo,
man wird Dir nur helfen können, wenn Du mal vorrechnest und zeigst, wie weit Du kommst.
Sonst erfahren wir ja nicht, wo das Problem liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 25.11.2008 | | Autor: | juel |
ja in ordnung, hier ist mein Rechenvorgang
$ [mm] =\summe_{k=1}^{n} \bruch{2\cdot{}k + 1}{k² \cdot{} (k + 1)²} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{2\cdot{}(n+1) + 1}{k² \cdot{} ((n+1)+ 1)²} [/mm] $
= [mm] \bruch{2\*k + 1}{k²\*(k+1)²} [/mm] + [mm] \bruch{2\*(n+1) + 1}{k² \*(n+2)²}
[/mm]
= [mm] \bruch{2\*k + 1\*(n+2)²}{k²\*(k+1)²\*(n+2)²} [/mm] + [mm] \bruch{2\*(n+1) + 1\*(k+1)²}{k² \*(n+2)²\*(k+1)²}
[/mm]
= [mm] \bruch{2\*k+1\*(n+2)²+2\*(n+1)+1\*(k+1)²}{k²\*(k+1)²\*(n+2)²}
[/mm]
= [mm] \bruch{2\*k+1+2\*n+2+1}{k²}
[/mm]
weiter komme ich leider nicht
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Hallo Juel,
> ja in ordnung, hier ist mein Rechenvorgang
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{n} \bruch{2\cdot{}k + 1}{k² \cdot{} (k + 1)²}[/mm] + [mm]\bruch{2\cdot{}(n+1) + 1}{k² \cdot{} ((n+1)+ 1)²}[/mm]
Das muss doch im Nenner da rechterhand heißen [mm] $\red{(n+1)^2}((n+1)+1)^2$
[/mm]
Also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\right) [/mm] \ + \ [mm] \frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2((n+1)+1)^2} [/mm] \ \ [mm] (\star)$
[/mm]
Nun kannst du für die Summe von k=1 bis n die Induktionsvoraussetzung anwenden und dafür [mm] $1-\frac{1}{(n+1)^2}$ [/mm] schreiben, also
[mm] $(\star)=1-\frac{1}{(n+1)^2} [/mm] \ + \ [mm] \frac{2n+3}{(n+1)^2(n+2)^2}$
[/mm]
Das nun nur noch mit einfacher Bruchrechnung umformen, bis du die rechte Seite der Induktionsbeh., also [mm] $...=1-\frac{1}{((n+1)+1)^2}$ [/mm] dastehen hast ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Di 25.11.2008 | | Autor: | juel |
vielen vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 25.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo juel, Hallo angela,
ich hoffe es ist in Ordnung, wenn ich eine Frage zu obigem Ansatz stelle, und zwar ist mir unklar, weshalb ....
> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²}[/mm] = 1 -[mm]\bruch{1}{(n + 1)²}[/mm]
> Ich komm irgendwie nicht weiter....
> ich hab zuerst den IA gemacht dann vesucht den Beweis auf
> zu stellen..
>
> [mm]\summe_{i=1}^{1} \bruch{2\*1 + 1}{1²\* (1+1)²}[/mm] =[mm]\bruch{3}{4}[/mm] =1 - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(1+1)²}[/mm]
>
.. im Induktionsanfang für $\ k = 1 $ eingesetzt wird.
Für $\ n = 1 $ ist es mir klar.
Werden, wenn etwas bewiesen werden soll, alle Parameter durch vollst. Induktion bewiesen?
Viele Grüße,
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Hallo juel, Hallo angela,
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> ich hoffe es ist in Ordnung, wenn ich eine Frage zu obigem
> Ansatz stelle, und zwar ist mir unklar, weshalb ....
>
> > Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2\*k + 1}{k² \* (k + 1)²}[/mm] = 1
> -[mm]\bruch{1}{(n + 1)²}[/mm]
> > Ich komm irgendwie nicht
> weiter....
> > ich hab zuerst den IA gemacht dann vesucht den Beweis auf
> > zu stellen..
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{1} \bruch{2\*1 + 1}{1²\* (1+1)²}[/mm]
> =[mm]\bruch{3}{4}[/mm] =1 - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(1+1)²}[/mm]
> >
>
> .. im Induktionsanfang für [mm]\ k = 1[/mm] eingesetzt wird.
> Für [mm]\ n = 1[/mm] ist es mir klar.
> Werden, wenn etwas bewiesen werden soll, alle Parameter
> durch vollst. Induktion bewiesen?
Nein, nein, das ganze ist nur sehr unsauber aufgeschrieben vom Fragesteller.
Zum einen ist der Laufindex nicht i sondern k, zum anderen setzt er zwar im IA n=1, schreibt aber dann die Summe falsch hin, es müsste richtig lauten:
IA: n=1: [mm] \underline{zz.}: $\sum\limits^{1}_{\red{k=1}}\frac{2\red{k}+1}{\red{k^2(k}+1)^2}=1-\frac{1}{(1+1)^2}$
[/mm]
Und dann: [mm] $\sum\limits^{1}_{k=1}\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\frac{2\cdot{}1+1}{1^2(1+1)^2}=....$
[/mm]
Die Induktion läuft also natürlich über n ...
LG
schachuzipus
>
> Viele Grüße,
> ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 25.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank für die ausführliche Antwort, war ein bisschen Verwirrt.
Entschuldigt bitte, dass ich hier unterbrochen habe.
Viele Grüße,
ChopSuey
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