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| Aufgabe 1 | Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige Induktion über N.
[mm] 24|5^{2n}-1
[/mm]
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| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3}=(\summe_{i=1}^{n}i)^{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/vollstaendige-Induktion-337
Ich hab in dem Forum auch schon gepostet wie weit ich gekommen bin, weiß aber nicht ob ich das jetzt nochmal posten soll?
Ich bin halt mittendrin hängengeblieben und komm nicht weiter:
letzter Stand:
IS (Induktionsschritt): Sei [mm] 5^{2n}-1 [/mm] durch 24 teilbar, d.h. [mm] 5^{2n}-1=24k [/mm] für ein passendes [mm] k\in\IN [/mm] , daraus ist herzuleiten [mm] 5^{2n+1}-1 [/mm] ist durch 24 teilbar.
Herleitung: aus [mm] 5^{2n}-1=24 [/mm] folgt [mm] 5^{2n+1}-1= 5(5^{2n}-1)=4\times5^{2n}+5^{2n}-1 [/mm]
An der Stelle häng ich und mit der zweiten Aufgabe kriag ichs gar nicht hin.
Danke für eure Hilfe
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Hallo Katharina,
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige
> Induktion über N.
>
> [mm]24|5^{2n}-1[/mm]
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> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}=(\summe_{i=1}^{n}i)^{2}[/mm]
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/vollstaendige-Induktion-337
>
> Ich hab in dem Forum auch schon gepostet wie weit ich
> gekommen bin, weiß aber nicht ob ich das jetzt nochmal
> posten soll?
>
> Ich bin halt mittendrin hängengeblieben und komm nicht
> weiter:
>
> letzter Stand:
>
> IS (Induktionsschritt): Sei [mm]5^{2n}-1[/mm] durch 24 teilbar, d.h.
> [mm]5^{2n}-1=24k[/mm] für ein passendes [mm]k\in\IN[/mm] , daraus ist
> herzuleiten [mm]5^{2n+1}-1[/mm] ist durch 24 teilbar.
> Herleitung: aus [mm]5^{2n}-1=24[/mm] folgt [mm]5^{2n+1}-1= 5(5^{2n}-1)=4\times5^{2n}+5^{2n}-1[/mm]
Ich mache das immer so:
IV: [mm] $24\mid (5^{2n}-1) [/mm] \ [mm] \Rightarrow 24\mid 25(5^{2n}-1)$ [/mm] denn [mm] $a\mid b\Rightarrow a\mid m\cdot{}b$ [/mm] für alle [mm] $m\in\IZ$
[/mm]
[mm] $25(5^{2n}-1)=5^2\cdot{}5^{2n}-25=5^{2(n+1)}-25$ (\star)
[/mm]
Dann weißt du, dass [mm] $24\mid [/mm] 24$ [mm] (\star\star)
[/mm]
Damit teilt 24 auch die Summe von [mm] (\star) [/mm] und [mm] (\star\star), [/mm] also [mm] $24\mid (5^{2(n+1)}-25+24)=5^{2(n+1)}-1$
[/mm]
Das war zu zeigen ...
>
>
> An der Stelle häng ich und mit der zweiten Aufgabe kriag
> ichs gar nicht hin.
bei (b) kennst du doch eine explizite Formel für die rechte Seite, die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist doch [mm] $\frac{n(n+1)}{2}$, [/mm] das Quadrat also [mm] $\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$
[/mm]
Das kannst du gewinnbringend im Induktionsschritt benutzen, damit wird's kinderleicht
> Danke für eure Hilfe
>
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | $ [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3}=(\summe_{i=1}^{n}i)^{2} [/mm] $ |
Erst mal vielen Dank für die schnelle Reaktion.
Das erste hab ich jetzt glaub ich verstanden, seh's mir noch mal in Ruhe an.
Bei der zweiten Aufgabe hab ich aber immer noch ein Problem:
wäre es dann in etwa so?
[mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3}=(\summe_{i=1}^{n}i)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [\bruch{n(n+1)}{3}]^3= \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 [/mm]
ich komm mit dem ^3 nicht klar, weil rein von der Logik her können die linke und die rechte Seite nicht gleich sein. Oder?
Und was mach ich danach?
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Hallo nochmal,
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}=(\summe_{i=1}^{n}i)^{2}[/mm]
> Erst mal vielen Dank für die schnelle Reaktion.
>
> Das erste hab ich jetzt glaub ich verstanden, seh's mir
> noch mal in Ruhe an.
>
> Bei der zweiten Aufgabe hab ich aber immer noch ein
> Problem:
> wäre es dann in etwa so?
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}=(\summe_{i=1}^{n}i)^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow [\bruch{n(n+1)}{3}]^3= \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2[/mm]
soll das linkerhand die Summe der ersten n Kubikzahlen sein? Da habe ich größte Bedenken !
>
> ich komm mit dem ^3 nicht klar, weil rein von der Logik her
> können die linke und die rechte Seite nicht gleich sein.
> Oder?
> Und was mach ich danach?
Hmm, wenn du ne Induktion machen sollst, so mache das doch auch:
IA: machste selber
IS: [mm] $n\to [/mm] n+1$
IV: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig und gelte [mm] $\red{\sum\limits_{k=1}^{n}k^3}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k\right)^2=\red{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k^3\right)} [/mm] \ + \ [mm] (n+1)^3$
[/mm]
Nun setze für den roten Ausdruck die Induktionsvoraussetzung ein und forme weiter um, das Ziel der Umformungen kennst du ja, darauf arbeite hin ...
Es sind noch 3-4 kleine Umformungen ...
Also ran 
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Sa 22.11.2008 | | Autor: | anjali251 |
Ich werde das jetzt mal probieren. Und ja das sind Kubikzahlen, so stehts in der Aufgabe. Danke nochmal
Katharina
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Hallo nochmal,
> Ich werde das jetzt mal probieren. Und ja das sind
> Kubikzahlen, so stehts in der Aufgabe.
Ja, schon klar, ich meinte damit auch deine falsche Formel dafür [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n}k^3\neq\frac{n(n+1)}{3}$
[/mm]
> Danke nochmal
>
> Katharina
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | $ [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3}=(\summe_{i=1}^{n}i)^{2} [/mm] $ |
IV: Sei $ [mm] n\in\IN [/mm] $ beliebig und gelte $ [mm] \red{\sum\limits_{k=1}^{n}k^3}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k\right)^2=\red{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2} [/mm] $
Dann ist $ [mm] \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k^3\right)} [/mm] \ + \ [mm] (n+1)^3 [/mm] $
Wenn ich jetzt [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3}+(n+1)^{3}habe, [/mm] komme ich dann auf
[mm] \left(\summe_{i=1}^{n}i\right)+n^{3}+3n^{2}+3n+1 [/mm] ?
wenn ich das jetzt gleichsetze, wäre das:
[mm] \left(\summe_{i=1}^{n}i\right)^{2}+n^{3}+3n^{2}+3n+1=\left(\summe_{i=1}^{n}i\right)^{2}+2(n+1)\times\left(\summe_{i=1}^{n}i\right)^{2}+n^{2}+2n+1
[/mm]
wenn das so ist, wie mache ich jetzt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Anja
Dir wurde doch schon gesagt du sollst statt der Summe die Formel einsetzen, und das Ziel vor Augen umformen. so schreibst du nur immer wieder die Behauptung hin
also 1. genau aufschreiben, was du fuer n=1 erreichen willst.
dann zu der schon in der Indvors stehenden Formel [mm] (n+1)^3 [/mm] addieren und so rumrechnen dass das was du willst rauskommt!
Gruss leduart
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| Aufgabe | | [mm] \left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}+(n+1)^{3}=\left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2} [/mm] |
Muss es dann so aussehen?
Das mit dem Summenzeichen, da war ich mir sowieso unsicher, also Danke!
Wie fahre ich dann fort - das ist erst meine erste vollständige Induktion außer einem Bsp. was komplett anders war.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> [mm]\left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}+(n+1)^{3}=\left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}[/mm]
> Muss es dann so aussehen?
rechts steht ja die Behauptung nicht fuer n+1, du hast ja dasselbe wie den vorderen Summanden links! Das kann ja nicht stimmen.
Wenn du die richtige Beh. hingeschrieben hast musst du zielgerichtet umformen. z. bsp geschickt ausklammern. wenns gar nicht "geschickt" geht rechnet man einfach die linke und rechte (korrigierte ) Seite aus und sieht, dass sie gleich sind. (aber wenigstens links und rechts (n+1) ausklammern!)
Gruss leduart
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| Aufgabe | | [mm] \left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}+(n+1)^{3}=\left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2} [/mm] |
Ich verzweifel langsam: Ich seh den Fehler nicht - heißt ich bin nicht in der Lage ihn zu erkennen, weil ich immer noch nicht durchseh.
Was hab ich vergessen? Die rechte Seite sieht genau so aus wie von einem anderen member zuvor erklärt, deshalb versteh ich grad nicht was falsch sein soll.
Super wäre ein ausführlich und verständlich erklärter Lösungsweg der mich in die Lage versetzt die nächste Induktion allein hinzubekommen. Warum macht man was und wie?
Das ist glaub ich im Moment leider das einzige was mir weiterhilft. Das wäre wirklich super. Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
links steht die Formel fuer n, von der die Induktionsvors sagt sie sei richtig, dazu addiert hast du [mm] (n+1)^3
[/mm]
rechts sollte die Formel fuer n+1 stehen, nicht die fuer n!
Gruss leduart
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| Aufgabe | | [mm] \left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}+(n+1)^{3}=\left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}+2\times(n+1) [/mm] |
Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, hoffe es aber. Wenn ja - wie mache ich jetzt weiter
vielen Dank
Katharina
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Hallo nochmal,
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> [mm]\left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}+(n+1)^{3}=\left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}+2\times(n+1)[/mm]
> Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, hoffe es aber.
> Wenn ja - wie mache ich jetzt weiter
Nein, was machst du denn? Leduart hat's doch schon 70 Mal gesagt
Rechterhand des Gleichheitszeichens muss die rechte Seite der Induktionsbehauptung (für n+1) stehen, also
[mm] $\underbrace{\left[\bruch{n\times(n+1)}{2}\right]^{2}+(n+1)^{3}}_{=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3} [/mm] \ = \ [mm] \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}k\right)^2$
[/mm]
Und für die Summe der ersten n+1 natürlichen Zahlen sollst du die Formel, die wir die ganze Zeit benutzen, anpassen, ersetze jedes n in der Formel [mm] $\frac{n(n+1)}{2}$ [/mm] durch n+1.
Und alles zum Quadrat ...
Ist dir nun klar, was da stehen muss als Beh.?
>
> vielen Dank
> Katharina
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 23.11.2008 | | Autor: | anjali251 |
Na ja, klarer als vorher auf jeden Fall, Ich hab leider überhaupt nicht gerafft was er meinte.
Ich denk den Rest schaff ich allein - Danke an alle, vor allem für die Geduld
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