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Hi!
Wir schreiben kommenden Mittwoch eine Mathe Klausur. Die Lehrerin hat uns verraten, das folgende Frage dran kommt: "Erläutern sie das Beweisverfahren der Vollständigen Induktion."
Ich habe mich mal daran versucht und würde gerne wissen, ob meine Antwort so korrekt ist (ich will in der Aufgabe schließlich die volle Punktzahl ^^):
Mit der vollständigen Induktion kann ev. bewiesen werden, dass eine von einer Variable (Beispiel n) abhängige Aussage „A“ für eine Teilmenge „T“ der natürlichen Zahlen = {a, …} gilt oder nicht gilt. Dazu wird zuerst in der „Induktionsverankerung“ gezeigt, dass A für n=a gilt oder nicht gilt. In letzterem Fall wurde die Aussage bereits wiederlegt. Ansonsten wird angenommen, dass A für n gilt. Man versucht so im „Induktionsschritt“ zu zeigen, dass A dann auch für n+1 gilt. Ist das nicht gelungen ist die Aussage wiederlegt. Ist das und die Induktionsverankerung gelungen, so folgt hieraus: A gilt für n=a und somit für n=a+1 und somit für n=a+1+1 usw.. Somit gilt A für alle n Element T.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Sa 23.02.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Mit der vollständigen Induktion kann ev. bewiesen werden,
> dass eine von einer Variable (Beispiel n) abhängige Aussage
> „A“ für eine Teilmenge „T“ der
> natürlichen Zahlen = {a, …} gilt oder nicht gilt.
Das Beweisverfahren "vollst. Ind." ist nicht notwendig, um zu zeigen daß eine Aussage der Art "Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \geq [/mm] a$ gilt..." falsch ist. Dafür reicht ein einziges Gegenbeispiel.
> Dazu wird zuerst in der „Induktionsverankerung“
> gezeigt, dass A für n=a gilt. (WEGLASSEN: oder nicht gilt. In letzterem
> Fall wurde die Aussage bereits wiederlegt.) Ansonsten wird
> angenommen, dass A für <-- irgendein --> n gilt. Man versucht so im
> „Induktionsschritt“ zu zeigen, dass A dann auch
> für n+1 gilt.
> Ist das nicht gelungen ist die Aussage wiederlegt.
das stimmt nicht.
> Ist das und die Induktionsverankerung gelungen,
> so folgt hieraus: A gilt für n=a und somit für n=a+1 und
> somit für n=a+1+1 usw.. Somit gilt A für alle n Element T.
hört sich sonst ganz gut an - und vor allem aus eigenem Denken entsprungen und nicht abgeschrieben 
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 So 24.02.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
ok, vielen Dank für die Kommentare!
Dann korrigiere ich das mal und habs dann schon so etwa im Kopf für die Arbeit ;)
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mir fällt noch gerade was ein:
muss ich nicht auch noch sagen, dass mit vollständiger Induktion auch eine Aussage für eine Teilmenge {..., a} bewiesen werden kann, wenn im Induktionsschritt der Schluss von n auf n-1 gelingt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo,
ja, das kannst du auch noch sagen. Wobei ich deine Notation [mm] $\{\ldots,a\}$ [/mm] nicht verstehe. Vielleicht kannst du einfach sagen: für eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.
Dait das aber stimmt, muss auch ein (nnicht der) Induktionsanfang gelingen, aber das muss halt nciht unbedingt n=1 sein, sondern kann z.B. auch n=50 sein. Dann heißt das halt, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt, die größer oder gleich 50 sein.
Lieben Gruß und viel Erfolg,
Manatu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mo 25.02.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
zur vollst. Ind. kann man natürlich noch viel mehr sagen. Insbesondere ist es korrekt, daß man damit auch die Gültigkeit einer Aussage für alle ganzen Zahlen bis zu einer Obergrenze (die man mit dem Induktionsanfang zeigt) zeigen kann, wie du richtig vorschlägst. Damit ist natürlich klar, daß man auch die Gültigkeit einer Aussage für alle ganzen Zahlen zeigen kann, indem man ausgehend von einem Induktionsanfang mit einer beliebigen ganzen Zahl den Schluss von n auf n+1 und den Schluss von n auf n-1 zeigt.
Es gibt noch eine zweite Variante der vollst. Induktion beim Induktionsschluss: Beim Schluss darf man nämlich nicht nur die Gültigkeit der Aussage für irgendein n voraussetzen, sondern die Gültigkeit der Aussage für alle k vom Induktionsanfang bis zu einer beliebigen Zahl n>=k. Wenn dir dann der Schluss auf die Gültigkeit für n+1 gelingt, dann ist die Aussage wiederum bewiesen für alle ganzen Zahlen ab dem Induktionsanfang. Entsprechend geht das natürlich auch nach "unten". Um es bildlich zu beschreiben: In dieser Variante wirft nicht der jeweils vorhergehende Dominostein den nächsten um, sondern alle bislang umgefallenen Steine werfen mit vereinten Kräften den jeweils nächsten um 
Abschließend könnte man auch noch erwähnen, daß die vollständige Induktion eigentlich nur ein Spezialfall der strukturellen Induktion ist, aber so etwas wird in der Schule kaum besprochen. Vielleicht ist es deiner Lehrerin aber ein paar Sonderpunkte wert
LG
Will
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