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Forum "Uni-Sonstiges" - vollstämdige Induktion
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vollstämdige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Di 14.09.2004
Autor: Jaykop

Hallo,

Folgende Aufgabe soll gelöst werden;
Beweisen sie über vollständige Induktion:

[mm] \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \bruch{n(n+1) (n+2)}{3} [/mm]

Ich habe dann folgendes gamacht:

1. Induktionsanfang n=1

zu zeigen: [mm] A(1) [/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{1}k(k+1) = \bruch{1(1+1) (1+2)}{3} = 1(1+1) = 2[/mm]


Beweis:
[mm] \sum_{k=1}^{1} k(k+1) = 1(1+1) = 2 \Box [/mm]

2. Induktionsschritt
Vorraussetzung: [mm] A(n) [/mm] gilt

[mm] \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \bruch{n(n+1) (n+2)}{3} [/mm]

Behauptung: [mm] A(n+1) [/mm]

[mm] \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \bruch{(n+1) [(n+1)+1] [(n+1)+2)]}{3} [/mm]

Beweis:

[mm] \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) +(n+1)[(n+1)+1)] [/mm]

nach vorraussetzung:

[mm] =\bruch{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)[(n+1)+1)] [/mm]

[mm] =\bruch{3\left\{n(n+1)(n+2) + (n+1)[(n+1)+1]\right\}}{3} [/mm]

jetzt komme ich nicht weiter...
hab ich mich vertan?

Vielen Dank
        
Bezug
vollstämdige Induktion: vollständige Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Di 14.09.2004
Autor: Paulus

Hallo Jaykop

> Hallo,
>  
> Folgende Aufgabe soll gelöst werden;
>  Beweisen sie über vollständige Induktion:
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \bruch{n(n+1) (n+2)}{3}[/mm]
>  
> Ich habe dann folgendes gamacht:
>  
> 1. Induktionsanfang n=1
>  
> zu zeigen: [mm]A(1)[/mm]
>  [mm]\sum_{k=1}^{1}k(k+1) = \bruch{1(1+1) (1+2)}{3} = 1(1+1) = 2[/mm]
>  
>
>
> Beweis:
>  [mm]\sum_{k=1}^{1} k(k+1) = 1(1+1) = 2 \Box[/mm]
>  
> 2. Induktionsschritt
>  Vorraussetzung: [mm]A(n)[/mm] gilt
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \bruch{n(n+1) (n+2)}{3}[/mm]
>  
>
> Behauptung: [mm]A(n+1)[/mm]
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \bruch{(n+1) [(n+1)+1] [(n+1)+2)]}{3}[/mm]
>  
>

[ok] Da würde ich aber noch weiter vereinfachen:

$ [mm] \bruch{(n+1) [(n+1)+1] [(n+1)+2)]}{3} [/mm] =  [mm] \bruch{(n+1) (n+2)(n+3)}{3}$ [/mm]
> Beweis:
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) +(n+1)[(n+1)+1)][/mm]
>  
>
> nach vorraussetzung:
>  
> [mm][mm]=\bruch{n(n+1)(n+2)}{3}[/mm] + (n+1)[(n+1)+1)] [mm][/mm] [/mm]

[mm][mm]=\bruch{3\left\{n(n+1)(n+2) + (n+1)[(n+1)+1]\right\}}{3} [/mm] [/mm]
Ja, hier wolltest du offensichtlich gleichnamig machen. Das ist dir aber misslungen ;-)

Da hättest du doch nur den 2. Term mit 3 erweitern müssen

Ich empfehle aber ganz generell, nach Möglichkeit auszuklammern:

[mm] $\bruch{n(n+1)(n+2)}{3} [/mm] + (n+1)[(n+1)+1]$

Etwas vereinfachen:

[mm] $\bruch{n(n+1)(n+2)}{3} [/mm] + (n+1)(n+2)$

Da kann man doch $(n+1)$ und $(n+2)$ ausklammern:

[mm] $\bruch{n(n+1)(n+2)}{3} [/mm] + [mm] (n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)(\bruch{n}{3}+1)$ [/mm]

Und dann wirds ganz einfach:

[mm] $(n+1)(n+2)(\bruch{n}{3}+1)=(n+1)(n+2)*\bruch{n+3}{3}$ [/mm]


Und so weiter.

Alles klar?

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
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