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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 So 14.05.2006 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion über n:
[mm] \forall n \in \IN \cup \{0 \} \exists k_{n} : 7^{n} = 6 * k_{n} +1 [/mm] |
Moin,
ich weiß nicht so recht wie ich das beweisen soll...
Für:
[mm] A(2) : 7^{2} = 6 * 8 +1 [/mm]
Wie komme ich über [mm] k_{n} [/mm] zu [mm] k_{n+1}.
[/mm]
Mein Verständnisproblem ist: das es hier ja immer nur ein [mm] k_{n} [/mm] gibt für das die Formel gilt... Also muss ich jetzt eine Formel entwickelt, mit der ich k für eine Zahl n ausrechnen kann, um die Induktion anzuwenden ?
Danke für Hilfe
Gruss
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 14.05.2006 | | Autor: | martzo |
Lieber Lars,
der Induktionsanfang ist dir sicher klar: [mm] k_0=0.
[/mm]
Angenommen, du hättest für jedes n schon ein [mm] k_n [/mm] gefunden, sodass [mm] 7^n=6*k_n+1 [/mm] (Diese Gleichung nenne ich [mm] A_n). [/mm] Jetzt suchst du ein [mm] k_{n+1}, [/mm] sodass [mm] 7^{n+1}=6*k_{n+1}+1. [/mm] Es gilt offenbar [mm] 7^{n+1}=7*7^n. [/mm] Jetzt musst du nur noch [mm] A_n [/mm] einsetzen und nach [mm] k_{n+1} [/mm] auflösen.
Gruß,
Martzo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo,
erstmal danke für Deine schnelle Hilfe :)
Ich habe ein Verständnisproblem bei dem Induktionsbeweis dieser Aufgabe:
1. A(0) ....
2.
Behauptung:
[mm] A(n+1) = 7^{n+1} = 6*k_{n+1} +1[/mm]
Beweis:
Nun also nach [mm] k_{n+1} [/mm] auflösen:
[mm] kn_{n+1} = \bruch{7^{n+1}-1}{6}[/mm]
Nun muss ich [mm] k_{n} [/mm] aus [mm] kn_{n+1} [/mm] erzeugen um die Formel zu beweisen.. nur wie :) ?
Danke für Hilfe
Gruss
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mo 15.05.2006 | | Autor: | martzo |
hi lars,
> Ich habe ein Verständnisproblem bei dem Induktionsbeweis
> dieser Aufgabe:
>
> 1. A(0) ....
Die Aussage A(0) lautet doch: Es gibt ein [mm] k_0, [/mm] sodass [mm] 7^0=6*k_0+1. [/mm] Welches [mm] k_0 [/mm] ist das wohl? - Mit A(0) hast du dann den Induktionsanfang.
>
> 2.
> Behauptung:
> [mm]A(n+1) = 7^{n+1} = 6*k_{n+1} +1[/mm]
>
> Beweis:
> Nun also nach [mm]k_{n+1}[/mm] auflösen:
> [mm]kn_{n+1} = \bruch{7^{n+1}-1}{6}[/mm]
>
> Nun muss ich [mm]k_{n}[/mm] aus [mm]kn_{n+1}[/mm] erzeugen um die Formel zu
> beweisen.. nur wie :) ?
(Du meinst sicher [mm] k_{n+1} [/mm] und nicht [mm] kn_{n+1}, [/mm] oder?)
In dem du statt [mm] 7^{n+1} [/mm] einfach [mm] 7*7^n [/mm] schreibst. Und den Wert von [mm] 7^n [/mm] kannst du ja mit Hilfe von [mm] k_n [/mm] ausdrücken. Schließlich ist A(n) - und diese Aussage gilt ja nach Induktionsvoraussetzung - gerade [mm] 7^n=6*k_n+1.
[/mm]
Das müsste dir jetzt eigentlich in einer kurzen Zeile gelingen.
Gruß,
Martzo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Lars_B. |
Moin Martzo,
> Die Aussage A(0) lautet doch: Es gibt ein [mm]k_0,[/mm] sodass
> [mm]7^0=6*k_0+1.[/mm] Welches [mm]k_0[/mm] ist das wohl? - Mit A(0) hast du
> dann den Induktionsanfang.
Ja das ist klar.
> (Du meinst sicher [mm]k_{n+1}[/mm] und nicht [mm]kn_{n+1},[/mm] oder?)
>
Ja da war ich wohl etwas hektisch beim durchlesen.
> In dem du statt [mm]7^{n+1}[/mm] einfach [mm]7*7^n[/mm] schreibst. Und den
> Wert von [mm]7^n[/mm] kannst du ja mit Hilfe von [mm]k_n[/mm] ausdrücken.
> Schließlich ist A(n) - und diese Aussage gilt ja nach
> Induktionsvoraussetzung - gerade [mm]7^n=6*k_n+1.[/mm]
Hm :) scheinbar gelingt mir das nicht *g*
[mm] 7*(6*k_n+1) [/mm] = [mm] 6*k_{n+1}+1
[/mm]
keine Ahnung wie ich das jetzt vereinfache damit [mm] 6*k_n+1 [/mm] stehenbleibt.
Das soll doch stehenbleiben ?
Wenn, frage ich mich wie ich die 1 aus [mm] k_{n+1} [/mm] loswerde, ist schließlich kein Exponent.
Danke für Hilfe
Gruss
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Mo 15.05.2006 | | Autor: | martzo |
Hi Lars,
> keine Ahnung wie ich das jetzt vereinfache damit [mm]6*k_n+1[/mm]
> stehenbleibt.
> Das soll doch stehenbleiben ?
Nein, wieso?
>
> Wenn, frage ich mich wie ich die 1 aus [mm]k_{n+1}[/mm] loswerde,
> ist schließlich kein Exponent.
>
Wieso willst du denn [mm] k_{n+1} [/mm] loswerden? Du willst es doch ausrechnen, oder? Dazu musst du nur die Gleichung nach [mm] k_{n+1} [/mm] auflösen. Wenn ich mich da jetzt nicht verrechnet habe, steht dann da:
[mm] k_{n+1}=7*k_n+1
[/mm]
Dieses [mm] k_{n+1} [/mm] erfüllt die Gleichung [mm] 7^{n+1}=6*k_{n+1}+1. [/mm] Fertig.
Gruß,
Martzo
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