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volls. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 So 16.03.2008
Autor: Tyskie84

Aufgabe
Zeige, dass [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{k \\ 4}=\vektor{n+1 \\ 5} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt

Hallo zusammen!

Ich versuche gerade die obige Aufgabe durch Induktion zu beweisen. Das Problem darin besteht dass der Binominalkoeffizient doch nur für [mm] k\ge [/mm] 4 definiert ist, sodass mir schon der Induktionsanfang schwierigkeiten bereitet. Ich habe versucht den Binominalkoeffizienten mit der Additionsformel [mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1}-\vektor{n \\ k+1} [/mm] zu verwenden aber das Problem ist dadurch nicht gelöst. Nun habe ich mir überlegt dass ich die die Summe nicht von 1 starten lasse sondern von 4 starten lasse.

Also [mm] \summe_{k=4}^{n}\vektor{k \\ 4}=\vektor{n+1 \\ 5} [/mm] Geht das so einfach? oder muss ich dann den Binominalkoeffizienten ändern wenn ich die Summe von 4 starten lasse? Ich hoffe ihr versteht die Frage ;-)

[cap] Gruß
        
Bezug
volls. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 So 16.03.2008
Autor: Kroni

Hi,

du willst also einen Indexshift machen.

Wenn wir uns einfach mal die Summe

[mm] $\summe_{i=1}^{n} [/mm] i$ angucken, dann schaut diese ja so aus: $1+2+3+4+5+...+n$
Wenn wir die Summe aber bei 4 starten lassen, und dann auch nur bis n gehen lassen, dann sähe die Summe ja so aus:
$4+5+6+...+n$, und das ist etwas anderes als die obige Summe. Du lässt ja einfach die ersten drei Summanden weg, und das geht nicht.
Das Einzige, was du machen kannst wäre, die Summe von 4 bis n+3 laufen zu lassen, dann musst du aber auch als Summationsvariable $n-3$ setzen, damit du auch von 1 bis n aufsummierst.

Ich erinnere mich aber, dass [mm] $\pmat{1\\4}$ [/mm] definiert ist. Da gibt es eine allgemeine Definition des Binomialkoeffizienten.

Guck dir mal []diesen Link an. Das ist die Definition des verallgemeinerten Bin.koeffs., das könnte dir weiterhelfen.

LG

Kroni
Bezug
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