verträglichkeit Inverse zu R < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mo 12.10.2015 | | Autor: | Scherben |
| Aufgabe | | Wie lauten die Inversen in C* bezüglich der Multiplikation? Zeigen Sie, dass diese mit den reellen multiplikativen Inversen verträglich sind. |
Hallo zusammen,
Sei x [mm] \in [/mm] R. Dann gilt:
[mm] x*\bruch{1}{x}=1. [/mm] Eins ist das neutrale Element der multiplikation in R. Und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist somit das inverse zu x.
Wollen wir die reelle Zahl [mm] \bruch{1}{x} [/mm] als eine komplexe darstellen, nimmt sie die form [mm] (\bruch{1}{x}, [/mm] 0) an.
In C* gilt (x, [mm] 0)*(\bruch{1}{x},0) [/mm] = [mm] (x*\bruch{1}{x} [/mm] - 0*0, [mm] x*0+\bruch{1}{x}*0)=(1, [/mm] 0). (1,0) ist das neutrale Element der Multiplikation in C* ist.
Ist das alles soweit richtig ?
Vielen Dank schonmal! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Di 13.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wie lauten die Inversen in C* bezüglich der
> Multiplikation? Zeigen Sie, dass diese mit den reellen
> multiplikativen Inversen verträglich sind.
> Hallo zusammen,
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> Sei x [mm]\in[/mm] R. Dann gilt:
>
> [mm]x*\bruch{1}{x}=1.[/mm] Eins ist das neutrale Element der
> multiplikation in R. Und [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist somit das inverse
> zu x.
Welche Vor. an x hast Du vergessen?
>
> Wollen wir die reelle Zahl [mm]\bruch{1}{x}[/mm] als eine komplexe
> darstellen, nimmt sie die form [mm](\bruch{1}{x},[/mm] 0) an.
>
> In C* gilt (x, [mm]0)*(\bruch{1}{x},0)[/mm] = [mm](x*\bruch{1}{x}[/mm] - 0*0,
> [mm]x*0+\bruch{1}{x}*0)=(1,[/mm] 0). (1,0) ist das neutrale Element
> der Multiplikation in C* ist.
>
> Ist das alles soweit richtig ?
Ja, aber da fehlt einiges !
Sei $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$ [/mm] und $z=x+iy$ mit $x,y [mm] \in \IR$
[/mm]
Bestimme nun Du [mm] $z^{-1}=\bruch{1}{z}$ [/mm] in der Form
[mm] $\bruch{1}{z}=u+iv$ [/mm] mit $u,v [mm] \in \IR$.
[/mm]
Zeigen sollst Du dann: ist $y=0$, so ist [mm] \bruch{1}{z}=\bruch{1}{x}.
[/mm]
Fred
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> Vielen Dank schonmal! :)
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