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Forum "Uni-Lineare Algebra" - verktorraum und Basis
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verktorraum und Basis: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Di 17.01.2006
Autor: trixi86

Aufgabe
[mm] v_{1} [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] =  [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\-3 \\ 4} [/mm]

sind verktoren aus dem [mm] \IQ- [/mm] verktorraum [mm] \IQ^{4} [/mm] . ergänzen sie die vektoren zu einer Basis von [mm] \IQ^{4} [/mm]

um auf die Basis von [mm] \IQ^{4} [/mm] zu kommen, brauche ich ja 4 linear unabhängige vektoren, die den ganzen vektorraum [mm] \IQ^{4} [/mm] aufspannen. 2 der linera unabhängigen vektoren sind ja schon gegeben, d.h. ich brauche noch 2 weiter vektoren die linear unabhängig sind. ich habe auch 2 weitere gefunden:

[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\1} [/mm]

kann ich diese 2 vektoren nehmen um [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] zu einer basis zu ergänzen oder müssen die 2 vektoren noch andere kriterien erfüllen, dass sie eine basis bilden?? woher weiß ich, dass die 2 gegebenen und meine 2 gefundenen vektoren den ganzen vektorraum aufspannen?? und gibt es vielleicht eine methode die richtigen vektoren zu finden?? ich habe nämlich einfach durch probieren 2 linear unabhängige vektoren gesucht.
        
Bezug
verktorraum und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Di 17.01.2006
Autor: Julius

Hallo!

Zunächst: Deine Lösung ist richtig! :-)

Am besten gehst du so vor: Starte mit der kanonischen Basis

[mm] $\left\{ \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} \right\}$ [/mm]

des [mm] $\IQ^4$. [/mm] Jetzt wendest du das sogenannte []Austauschlemma (von Steinitz) an.

Ist [mm] $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IQ^4$ [/mm] und $w [mm] \in \IQ^4$ [/mm] ein Vektor mit

$w = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 v_3 [/mm] + [mm] \lambda_4 v_4$, [/mm]

so kann man im Falle [mm] $\lambda_i \ne [/mm] 0$ den Vektor [mm] $v_i$ [/mm] durch den Vektor $w$ ersetzen. Auf diese Weise kannst du deine beiden gegebenen Vektoren in die kanonische Basis einbauen.

Andere Möglichkeit:

Schreibe die beiden gegebenen Vektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix und die oben genannten vier kanonischen Basisvektoren ebenfalls als Zeilenvektoren darunter. Bringe die $6 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix auf Zeilenstufenform. Dann erhältst du am Schluss zwei Nullzeilen. Die beiden Nicht-Nullzeilen unmittelbar darüber ergänzen deine beiden gegebenen Vektoren zu einer Basis des [mm] $\IQ^4$. [/mm]

Die erste Möglichkeit ist aber deutlich eleganter...

Liebe Grüße
Julius
Bezug
        
Bezug
verktorraum und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Di 17.01.2006
Autor: trixi86

das mit der kanonischen basis habe ich jetzt verstanden, aber dass ich die 2 vektoren gewählt habe war echt purer zufall.deshalb hab ich noch eine weitere frage.und zwar:

die verktoren :

[mm] v_{1} =\vektor{1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1} v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\1\\0\\1\\0\\1\\0} v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\1\\0\\0\\1\\1\\0} [/mm] sind gegeben und müssen ebenfalls zu einer basis ergänzt werden allerdings im  [mm] \IF_{2}^{8} [/mm] vektorraum. ich habe 5 weitere linear unabhängige vektoren dazu gefunden z.B.

[mm] v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0} v_{5} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0\\0\\0\\0\\0\\0} v_{5} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1\\0\\0\\0\\0\\0} [/mm] usw. kann ich diese vektoren auch benutzen um eine basis von  [mm] \IF_{2}^{8} [/mm] zu finden oder muss ich die vektoren der kanonischen basis benutzen??

gruß trixi
Bezug
                
Bezug
verktorraum und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Di 17.01.2006
Autor: Julius

Hallo Trixi!

Nein, du musst natürlich keine Vektoren der kanonischen Basis verwenden, nur ginge es damit (und dem Austauschlemma) deutlich schneller und eleganter.

Aber du kannst natürlich auch weiter fleißig raten und/oder Gauß anwenden... ;-)

Liebe Grüße
Julius
Bezug
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