verkettete Funktion aufleiten < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 27.01.2014 | | Autor: | ronnez |
Hallo,
ich weiß einfach nicht, wie ich die Funktion 1/3*e^(x+5) aufleiten soll.
Die Funktion ist verkettet, nur irgendwie habe ich keine Ahnung wie ich die Kettenregel rückwärts anwenden soll.
Das gleiche gilt auch für die Funktion f(x)=1+e^(0.5x).
Die 1 wird zum x, nur leider weiS ich nicht, was ich mit dem anderen Summanden anstellen soll.
Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Wäre echt top, weil ich meine 13 Pkt. gerne in Mathe halten würde ;)
Gruß
ronnez
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo,
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> ich weiß einfach nicht, wie ich die Funktion 1/3*e^(x+5)
> aufleiten soll.
> Die Funktion ist verkettet, nur irgendwie habe ich keine
> Ahnung wie ich die Kettenregel rückwärts anwenden soll.
Bei dieser Aufgabe kannst du ganz simpel vorgehen, denn es gilt:
[mm] $e^{x+5}=e^x*e^5$
[/mm]
Jetzt ist es sehr einfach, denn [mm] $e^5$ [/mm] ist, genauso wie [mm] $\frac{1}{3}, [/mm] eine Konstante.
Alles klar?
> Das gleiche gilt auch für die Funktion f(x)=1+e^(0.5x).
> Die 1 wird zum x, nur leider weiS ich nicht, was ich mit
> dem anderen Summanden anstellen soll.
> Könnt ihr mir vielleicht helfen?
> Wäre echt top, weil ich meine 13 Pkt. gerne in Mathe
> halten würde ;)
Zunächst hast du richtig erkannt, dass folgendes gilt:
[mm] \integral{1+e^{\frac{1}{2}x} dx}=\integral{1 dx}+\integral{e^{\frac{1}{2}x} dx}=x+C_1+\integral{e^{\frac{1}{2}x} dx}
[/mm]
Also musst du nur noch folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral{e^{\frac{1}{2}x} dx}
[/mm]
Du musst bei solchen Integral immer "rückwärts" denken.
Für die Exponentialfunktion gilt:
[mm] (e^x)'=e^x*(x)'
[/mm]
Dabei ist das Ende, also die innere Ableitung $(x)'$, sehr wichtig!
Der Exponent bleibt bei der Exponentialfunktion erhalten,
sodass du in so einem Fall die innere Ableitung verarzten musst.
Wenn du annehmen würdest, dass folgendes gilt:
[mm] \integral{e^{\frac{1}{2}x} dx}=e^{\frac{1}{2}x}+C
[/mm]
Dann kannst du das testen, in dem du deine integriert Funktion ableitest.
[mm] (e^{\frac{1}{2}x})'=e^{\frac{1}{2}x}*(\frac{1}{2}x)'=e^{\frac{1}{2}x}*\frac{1}{2}
[/mm]
Wie du nun erkennen kannst stört uns die [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Das wollen wir nun verarzten. Verarzten heißt, dass es verschwinden muss.
Jetzt kannst du aber erkennen, dass durch eine $2$ keine Probleme entstehen würden.
Testen wir mal:
[mm] (2e^{\frac{1}{2}x})'=2*e^{\frac{1}{2}x}*(\frac{1}{2}x)'=2*e^{\frac{1}{2}x}*\frac{1}{2}=e^{\frac{1}{2}x}
[/mm]
Also gilt:
[mm] \integral{e^{\frac{1}{2}x} dx}=2e^{\frac{1}{2}x}+C
[/mm]
Hast du das Prinzip verstanden?
Probier dich mal an folgendes Integral:
[mm] \integral{e^{2x} dx}
[/mm]
Ihr werdet bald noch die Substitution kennenlernen,
sodass du dir weniger den Kopf über die "Umkehrung der Kettenregel für die Integration" machen musst.
Das gibt es nämlich nicht wirklich. Es gibt aber die partielle Integration.
> Gruß
> ronnez
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 27.01.2014 | | Autor: | ronnez |
Hallo,
vielen Dank für die sehr ausführliche und mega hilfreiche Antwort.
Die Nummer 1) konnte ich ohne Probleme nachvollziehen, auch die Nummer
2) war dank ihrer Exaktheit zu verstehen.
Ich habe also für [mm] e^{2x}=1/2e^x [/mm] heraus.
Allerdings ist mir folgendes noch nicht ganz klar:
> [mm](e^x)'=e^x*(x)'[/mm]
> Dabei ist das Ende, also die innere Ableitung [mm](x)'[/mm], sehr
> wichtig!
Warum ist das so? Können Sie mir das vielleicht in Worten erklären, das wäre echt top!
Vielen Dank !!!
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> Hallo,
>
> vielen Dank für die sehr ausführliche und mega hilfreiche
> Antwort.
> Die Nummer 1) konnte ich ohne Probleme nachvollziehen,
> auch die Nummer
> 2) war dank ihrer Exaktheit zu verstehen.
>
> Ich habe also für [mm]e^{2x}=1/2e^x[/mm] heraus.
Hi,
also so stimmt das nicht. Oben behauptest du ja, dass [mm] e^{2x}=1/2e^x [/mm] ist. Aber das gilt ja keineswegs.
Du wolltest integrieren, also sicherlich dies hier berechnen:
[mm] \int{e^{2x}}dx
[/mm]
Und dies ist:
[mm] \int{e^{2x}}dx=1/2e^{2x}+c
[/mm]
Dies kannst du durch Ableiten sofort bestätigen.
>
> Allerdings ist mir folgendes noch nicht ganz klar:
>
> > [mm](e^x)'=e^x*(x)'[/mm]
Hier steckt die Kettenregel drin. Zuerst leitest du die äußere Funktion ab und multiplizierst das mit der Ableitung der inneren Funktion.
Bei [mm] e^x [/mm] ist dieses Vorgehen übertrieben, wie ich finde. Besser wäre das Beispiel:
[mm] f(x)=e^{2x}
[/mm]
Setze z:=2x und so erhältst du mit der Kettenregel:
[mm] f'(x)=(e^z)'*z'=e^z*(2x)'=2e^{2x}
[/mm]
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> > Dabei ist das Ende, also die innere Ableitung [mm](x)'[/mm], sehr
> > wichtig!
>
> Warum ist das so? Können Sie mir das vielleicht in Worten
> erklären, das wäre echt top!
So förmlich sind wir hier nicht. Kannst uns hier ruhig duzen. 
Liebe Grüße
>
> Vielen Dank !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mo 27.01.2014 | | Autor: | ronnez |
Danke nochmal, jetzt habe ich es wirklich kapiert !!:)
Echt ein gutes Forum hier!
Vielen Dank nochmal an euch beiden!!;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo, es heißt übrigens "integrieren" und nicht "auf..". 
Gruß
DieAcht
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