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| Aufgabe | gegeben sind die vektoren [mm] \vec [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \vec [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
a) zeigen sie, dass [mm] \vec [/mm] a [mm] \perp \vec [/mm] b gilt.
b) ermitteln sie [mm] \vec [/mm] c so, dass [mm] \vec [/mm] a [mm] \perp \vec [/mm] c und [mm] \vec [/mm] b [mm] \perp \vec [/mm] c gilt.
c) zeigen sie, dass [mm] \vec [/mm] a , [mm] \vec [/mm] b und [mm] \vec [/mm] c gleichlang sind.
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zu a) dazu brauch ich ja nur das skalarprodukt berechnen und wenn es 0 ergibt, ist die aufgabe erfüllt, oder?
zu b) dazu muss ich ja einfach nur das vektorprodukt der vektoren a und b berechnen und das ist dann der vektor c, oder?
bei mir kommt dann raus: [mm] \vec c=\begin{pmatrix} 24 \\ 24 \\ 12 \end{pmatrix}.
[/mm]
aber im lösungsheft steht: allgemein: [mm] \vec c=\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
die ham halt den vektor gekürzt und dann eine allgemeine form daraus gemacht...aber war das von der aufgabenstellung her nötig?
zu c) da ich ja für den vektor c [mm] \begin{pmatrix} 24 \\ 24 \\ 12 \end{pmatrix} [/mm] hab, stimmts bei mir eben nicht...aber die aufgabe stimmt ja so auch nicht, da ja die vektoren a und b jeweils die länge 6 und die länge von meinem c-vektor ist 36.
wir haben ja mal die formel gelernt:
[mm] \left| \vec a \times \vec b \right| [/mm] = [mm] \left| \vec a \right| \left| \vec b \right| [/mm] sin(winkel zwischen a und b)
da wir in der aufgabe a) festgestellt haben, dass [mm] \vec [/mm] a [mm] \perp \vec [/mm] b, können wir ja sagen, dass in der formel der sinus 1 sein muss. also heitß die formel nur noch:
[mm] \left| \vec a \times \vec b \right| [/mm] = [mm] \left| \vec a \right| \left| \vec b \right|
[/mm]
das bedeutet also, dass die länge des vektorprodukts von [mm] \vec [/mm] a und [mm] \vec [/mm] b gleich der länge von [mm] \vec [/mm] a * [mm] \vec [/mm] b ist, oder?
und da sich [mm] \vec [/mm] c aus dem vektorprodukt aus [mm] \vec [/mm] a und [mm] \vec [/mm] b ergibt, ist die länge von [mm] \vec [/mm] c gleich der länge von [mm] \vec [/mm] a * [mm] \vec [/mm] b, oder?
bei meinen berechnungen stimmt das auch, also 36=6*6
aber es sollen ja angeblich alle 3 gleichlang sein, oder?
was ist denn dann falsch?
danke...:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 04.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Erika!
> gegeben sind die vektoren [mm]\vec[/mm] a = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\vec[/mm] b = [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> a) zeigen sie, dass [mm]\vec[/mm] a [mm]\perp \vec[/mm] b gilt.
> b) ermitteln sie [mm]\vec[/mm] c so, dass [mm]\vec[/mm] a [mm]\perp \vec[/mm] c und
> [mm]\vec[/mm] b [mm]\perp \vec[/mm] c gilt.
> c) zeigen sie, dass [mm]\vec[/mm] a , [mm]\vec[/mm] b und [mm]\vec[/mm] c gleichlang
> sind.
So funzt das nicht, weil das [mm] \vec{c} [/mm] aus Aufgabenteil b) nicht eindeutig bestimmt ist, das Kreuzprodukt ist eine mögliche Lösung, aber alle Vielfachen tun es auch. Nach Aufgabentext könntest du für [mm] \vec{c} [/mm] auch den Nullvektor nehmen.
Deine Rechnungen und Überlegungen sind alle OK, die Aufgabe 'geht so nicht'.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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danke!
aber kann man dann allgemein sagen, dass, wenn zwei vektoren a und b zueinander senkrecht sind, das vektorprodukt die länge von betrag vektor a mal betrag vektor b hat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 04.12.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> aber kann man dann allgemein sagen, dass, wenn zwei
> vektoren a und b zueinander senkrecht sind, das
> vektorprodukt die länge von betrag vektor a mal betrag
> vektor b hat?
Die Länge des Vektorproduktes ist gleich der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms, wenn die Vektoren senkrecht zueinander sind, dann ist das ein Rechteck, und die Fläche ist das Produkt der Längen [mm] \Rightarrow [/mm] Die Antwort ist ja!
Gruß
Dieter
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