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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Di 29.07.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | | Endliche Körper und Körper der Charakteristik Null sind vollkommen. |
Hallo,
versuche grad ein Beispiel eines nicht vollkommenen Körpers zu finden und bin hierbei auf [mm] \IF_{p}[T] [/mm] gestoßen. Begründung:
Sei K = [mm] \IF_{p}[T] [/mm] der Funktionenkoerper aller Polynombrueche mit Koeffizienten aus [mm] \IF_{p}. [/mm] Das Polynom f(x)= [mm] x^{p}-T [/mm] ist irreduzibel über K[x] , aber inseparabel, weil f'(x)=0.
Hier drängt sich bei mir als erstes die Frage auf, wofür wir eigentlich das T [mm] \in [/mm] K benötigen. Und wo sich dann letztendlich dieser Fall, von z.B. [mm] \IF_{p} [/mm] unterscheidet.
LG
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Hallo,
> Endliche Körper und Körper der Charakteristik Null sind
> vollkommen.
> Hallo,
>
> versuche grad ein Beispiel eines nicht vollkommenen
> Körpers zu finden und bin hierbei auf [mm]\IF_{p}[T][/mm]
> gestoßen.
Ganz schlechtes Beispiel, das ist kein Körper sondern ein Ring. T ist nicht invertierbar.
Was du meinst ist [mm]\IF_{p}(T)[/mm].
Ich hoffe der Notations- und Bedeutungsunterschied ist klar.
> Begründung:
> Sei K = [mm]\IF_{p}(T)[/mm] der Funktionenkoerper aller
> Polynombrueche mit Koeffizienten aus [mm]\IF_{p}.[/mm] Das Polynom
> f(x)= [mm]x^{p}-T[/mm] ist irreduzibel über K[x] , aber
> inseparabel, weil f'(x)=0.
>
> Hier drängt sich bei mir als erstes die Frage auf, wofür
> wir eigentlich das T [mm]\in[/mm] K benötigen. Und wo sich dann
> letztendlich dieser Fall, von z.B. [mm]\IF_{p}[/mm] unterscheidet.
Der Körper hat unendlich viele Elemente.
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Topologe |
Hi,
OK, also ich habe mir das Beispiel nun folgendermaßen hergeleitet:
In einem endlichen Körper k mit Charakteristik p ist der Frobenius-Homomorphismus surjektiv, also zu jedem a [mm] \in [/mm] k existiert eine eindeutige P-te Wurzel in k.
Also könnte man annehmen f [mm] \in [/mm] k[x] sei irreduzibel. Gaebe es nun mehrfache Nullstellen, dann wäre f'(x)=0 und es gibt ein g [mm] \in [/mm] k[x] mit [mm] f=g(x^{p}).
[/mm]
Also [mm] f(x)=a_{0}+a_{1}X^{p}+...+a_{n}X^{np}.
[/mm]
Da es aber zu jedem [mm] a_{i} [/mm] ein [mm] b_{i} \in [/mm] k gibt, mit [mm] b_{i}^{p}=a_{i}, [/mm] folgt
[mm] f(x)=b_{0}^{p}+(b_{1}X)^{p}+...+(b_{n}X^{n})^{p}=(b_{0}+b_{1}X+...+b_{n}X^{m})^{p}
[/mm]
Widerspruch zur Irreduzibilitaet.
Bei einem unendlichen Körper k ist der Frobenius-Homomorphismus nicht surjektiv, also nicht jedes a [mm] \in [/mm] k besitzt eine p-te Wurzel in k. Wenn [mm] k=\IF_{p}(T) [/mm] und [mm] f(x)=X^{p}-T \in [/mm] k[x], Koerper der Brueche aller Polynome mit Koeffizienten in [mm] \IF_{p}, [/mm] dann ist f(x) irreduzibel in k[x]. Im Zerfällungskörper K existiert eine p-te Wurzel von T, mit [mm] y^{p}=T. f(x)=X^{p}-y^{p}=(x-y)^{p}. [/mm] Separabel
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> Hi,
>
> OK, also ich habe mir das Beispiel nun folgendermaßen
> hergeleitet:
>
> In einem endlichen Körper k mit Charakteristik p ist der
> Frobenius-Homomorphismus surjektiv, also zu jedem a [mm]\in[/mm] k
> existiert eine eindeutige P-te Wurzel in k.
> Also könnte man annehmen f [mm]\in[/mm] k[x] sei irreduzibel.
> Gaebe es nun mehrfache Nullstellen, dann wäre f'(x)=0 und
> es gibt ein g [mm]\in[/mm] k[x] mit [mm]f=g(x^{p}).[/mm]
> Also [mm]f(x)=a_{0}+a_{1}X^{p}+...+a_{n}X^{np}.[/mm]
> Da es aber zu jedem [mm]a_{i}[/mm] ein [mm]b_{i} \in[/mm] k gibt, mit
> [mm]b_{i}^{p}=a_{i},[/mm] folgt
>
> [mm]f(x)=b_{0}^{p}+(b_{1}X)^{p}+...+(b_{n}X^{n})^{p}=(b_{0}+b_{1}X+...+b_{n}X^{m})^{p}[/mm]
> Widerspruch zur Irreduzibilitaet.
passt.
> Bei einem unendlichen Körper k ist der
> Frobenius-Homomorphismus nicht surjektiv,
nicht notwendig surjektiv.
Es gibt durchaus unendliche Körper von Char. p mit surj. Frobenius, z.B. [mm] $\mathbb F_p^{alg}$, [/mm] der algebraische Abschluss von [mm] $\mathbb F_p$. [/mm]
> also nicht jedes
> a [mm]\in[/mm] k besitzt eine p-te Wurzel in k. Wenn [mm]k=\IF_{p}(T)[/mm]
> und [mm]f(x)=X^{p}-T \in[/mm] k[x], Koerper der Brueche aller
> Polynome mit Koeffizienten in [mm]\IF_{p},[/mm] dann ist f(x)
> irreduzibel in k[x]. Im Zerfällungskörper K existiert
> eine p-te Wurzel von T, mit [mm]y^{p}=T. f(x)=X^{p}-y^{p}=(x-y)^{p}.[/mm]
> Separabel
passt auch.
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