untypische LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 So 01.07.2007 | | Autor: | Max80 |
Hallo zusammen!
Ich habe mich ein wenig eingeübt, ein LGS zu lösen. Wenn das sauber aufgeht, dann klappts eigentlich auch immer. Aber ich habe noch Probleme damit, wenn es keine eindeutige Lösung gibt. Noch dazu muss ich in der kommenden Klausur immer die Lösung angeben...
Also mal zusammen gefasst:
Entweder gibt es EINE Lösung (der für mich angenehmste fall),
oder es gibt KEINE Lösung (wie geht man damit um?)
oder es gibt UNENDLICH Lösungen (habe so einen Fall scheinbar hier, und weiß nicht weiter...).
Hier also mal ein Beispiel für ein LGS mit unendlich Lösungen:
(ich verwende immer die matrizen, finde das einfacher. zählt das übrigens auch als gauss-jordan-algorithmus, wenn der in der klausur verlangt wird?)
[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 2 & 2 & -1 & 1 | 6 \\ -2 & 0 & 1 & 1 | -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4}
[/mm]
nun mein versuch das zu lösen:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ -2 & 0 & 1 & 1 | -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4}
[/mm]
(II)=(II)-(I)
[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4}
[/mm]
(III)=(III)+(I)
[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4}
[/mm]
(III)=(III)-(II)
[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | 0}
[/mm]
(III) und (IV) getauscht
und nun???
Wie sieht die Lösungsmenge aus? Ich habe bissi gegooglelt, aber überall ist es anders...
Unser Dozent hat danach auch noch irgendwas mit nem Lambda [mm] (\lambda)
[/mm]
angeschrieben, aber ich habe davon leider nichts verstanden und leider nicht abgeschrieben. Was ich noch weiß ist, dass er meinte man könnte sich ab hier dann aussuchen was man nimmt. Nehmen wofür?? Für die Nullzeile?? Ich weiß grad leider nicht, wie man mit so ner Nullzeile umgeht. Ich werd mal schauen ob ich auch noch ein LGS mit KEINER Lösung finde.
trotzdem erstmal danke!!!
Gruß
Bunti
|
|
| |
|
Hallo Bunti,
zur ersten Frage: Der Algo ist unter dem Namen Gauß-Jordan Algo bekannt oder unter Gauß'sches Eliminationsverfahren
zu der Lösungsfrage:
Ich hab die Umformungen nicht nachgerechnet, also gehen wir davon aus, dass die letzte Matrix mit der Nullzeile stimmt 
Die Matrix repräsentiert ja ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen in 4 Unbekannten.
Da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, also die Gleichung 0=0 darstellt, die für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt - ist ja unabhängig von jeglicher Variable, hast du effektiv 3 Gleichungen in 4 Unbekannten.
Damit hast du eine frei wählbare.
Setzen wir zB. [mm] x_3:=t [/mm] mit [mm] t\in \IR [/mm] (oder [mm] \lambda [/mm] mit [mm] \lambda\in\IR [/mm] - wenn's nach deinem Prof geht )
In der 3.Zeile steht die Gleichung [mm] 2x_4=4, [/mm] also [mm] x_4=2
[/mm]
Damit steht in der 2.Zeile [mm] 1\cdot{}x_2+1\cdot{}x_4=2, [/mm] also [mm] x_2=2-2=0
[/mm]
Und schließlich in Zeile 1: [mm] 2x_1+1\cdot{}x_2-1\cdot{}x_3=4, [/mm] also [mm] 2x_1=4+t\Rightarrow x_1=2+\frac{t}{2}
[/mm]
Damit ist ein Lösungsvektor von der Gestalt
[mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{2+\frac{t}{2}\\0\\t\\2}=\vektor{2\\0\\0\\2}+\vektor{\frac{t}{2}\\0\\t\\0}=\vektor{2\\0\\0\\2}+t\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1\\0} [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Also ist die Lösungsgesamtheit die Menge [mm] \{\vektor{2\\0\\0\\2}+t\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1\\0}\mid t\in\IR\}
[/mm]
Etwas zum Theoretischen noch, wenn's dich interessiert:
Die Lösungsgesamtheit eines inhomogenen LGS setzt sich zusammen aus der Gesamtheit der Lösungen des [mm] \underline{homogenen} [/mm] LGS, also für [mm] A\cdot{}x=0.
[/mm]
Das sind hier unsere Vektoren [mm] t\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1\\0} [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
UND
[mm] \underline{\text{einer speziellen}} [/mm] Lösung des [mm] \underline{inhomogenen} [/mm] LGS - (Ax=b - quasi das Ausgangs-LGS)
Das ist hier der Vektor [mm] \vektor{2\\0\\0\\2}
[/mm]
Der Lösungsraum ist also ein affiner Vektorraum
PS: An der Gestalt der Lösungsgesamtheit kannst du auch sehen, dass das inhomogene LGS dann eine EINDEUTIGE Lösung hat, wenn das zugehörige homogene LGS nur die triviale Lösung 0 hat.
Hoffe, das hilft dir etwas weiter
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
