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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:20 Fr 28.04.2006 | | Autor: | jayjay2 |
| Aufgabe | Betrachte folgenden Satz:
Sei X parakompakt (dh. X Hausdorffsch und für jede offene überdeckung von X existiert eine zerlegung der eins die dieser überdeckung untergeordnet ist.)
Dann gilt:
Die stetige Funktion [mm] [X, G_{n}] \to Vect^{n} (X)[/mm], mit [mm] [f] \mapsto f^{\*}(E_{n}) [/mm] ist bijektiv.
mit folgenden Bezeichnungen:
[mm] G_{n} [/mm] Grassmann-Mannigfaltigkeit für [mm] \IR^{\infty} [/mm] (also die Menge aller n-dimensionale Ebenen im [mm] \IR^{\infty}, [/mm] Definiert als Vereinigung über alle 'endlichen' Grassmann-Mfgk'en)
[mm] E_{n} [/mm] kanonisches Vektorbündel über [mm] G_{n} [/mm] definiert als Vereinigung von [mm] \{ (l,v) \in G_{n}(\IR^k) \times \IR^{k} | v \in l \} [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] n (mit schwacher Topologie)
[mm] Vect^{n}(X) [/mm] Menge aller n-dim. Vektorbündel über X
[X,Y] Menge der Homotopieklassen von f: X [mm] \to [/mm] Y
[mm] f^{\*}(X) [/mm] zurückgezogenes Vektorbündel von X (nach f)
Die Frage bezieht sich auf einen Teil des Beweises wo man folgendes zeigen will:
Sei p: E [mm] \to [/mm] X ein n-dim. Vektorbündel. Dann gilt:
falls eine stetige Funktion [mm]g: E \to \IR^{\infty}[/mm] existiert die faserweise linear und injektiv ist, dann existiert ein Isomorphismus zwischen E und [mm] f^{\*}(E_{n}) [/mm] |
um das ganze zu zeigen definieren wir eine Fkt [mm]f: X \to G_{n}[/mm] mit [mm]f(x) := g(p^{-1}(x))[/mm] (dann erhält man ein kommutatives Diagramm, woraus man die Existenz des Isomorphismus folgern kann)
Nun stellt sich die Frage wieso diese Funktion f stetig sein soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 06.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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