unitärer Raum, orthogonalität < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] (V,\langle \cdot,\cdot \rangle) [/mm] ein unitärer Vektorraum und [mm] U\subseteq [/mm] V ein Unterraum. Zeigen Sie: [mm] U\cap U^{\perp}=0. [/mm] |
Hallo,
ich bin bei obigem etwas aufgeschmissen. Da da das Skalarprodukt extra erwähnt wird, muss man wohl damit argumentieren. Allgemein weiß ich aber, dass das Skalarprodukt zweier bel. orthogonaler Vektoren gleich Null ist, also kann der Schnitt von orthogonalen Räumen doch nur Null sein.
Aber das ist ja kein Beweis.
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> Sei [mm](V,\langle \cdot,\cdot \rangle)[/mm] ein unitärer
> Vektorraum und [mm]U\subseteq[/mm] V ein Unterraum. Zeigen Sie:
> [mm]U\cap U^{\perp}=0.[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin bei obigem etwas aufgeschmissen. Da da das
> Skalarprodukt extra erwähnt wird, muss man wohl damit
> argumentieren.
Hallo,
nunja, es wäre "Orthogonalität" ohne Skalarprodukt ja nicht denkbar, oder?
>Allgemein weiß ich aber, dass das
> Skalarprodukt zweier bel. orthogonaler Vektoren gleich Null
> ist, also kann der Schnitt von orthogonalen Räumen doch
> nur Null sein.
> Aber das ist ja kein Beweis.
Irgendwie nicht...
Nimm doch mal an, daß es ein x gibt, was im Schnitt liegt. Dann multipliziere x mit sich selbst.
Gruß v. Angela
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> > Sei [mm](V,\langle \cdot,\cdot \rangle)[/mm] ein unitärer
> > Vektorraum und [mm]U\subseteq[/mm] V ein Unterraum. Zeigen Sie:
> > [mm]U\cap U^{\perp}=0.[/mm]
> > Hallo,
> >
> > ich bin bei obigem etwas aufgeschmissen. Da da das
> > Skalarprodukt extra erwähnt wird, muss man wohl damit
> > argumentieren.
>
> Hallo,
>
> nunja, es wäre "Orthogonalität" ohne Skalarprodukt ja
> nicht denkbar, oder?
>
> >Allgemein weiß ich aber, dass das
> > Skalarprodukt zweier bel. orthogonaler Vektoren gleich Null
> > ist, also kann der Schnitt von orthogonalen Räumen doch
> > nur Null sein.
> > Aber das ist ja kein Beweis.
>
> Irgendwie nicht...
>
> Nimm doch mal an, daß es ein x gibt, was im Schnitt liegt.
> Dann multipliziere x mit sich selbst.
>
> Gruß v. Angela
>
Einfach so: (?) Ang. bel. gewähltes [mm] $x\in U\cap U^{\perp}.$ [/mm] Dann
gilt: [mm] $0=\langle x,x\rangle=x^{t}\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|\Rightarrow x_{i}=0.$\\
[/mm]
Dazu: es gelte natürlich [mm] v=(v_1,...,v_n).
[/mm]
Also [mm] $U\cap U^{\perp}=0.$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Di 14.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Einfach so: (?) Ang. bel. gewähltes [mm]x\in U\cap U^{\perp}.[/mm]
> Dann
> gilt: [mm]0=\langle x,x\rangle=x^{t}\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|\Rightarrow x_{i}=0.[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Dazu: es gelte natürlich [mm]v=(v_1,...,v_n).[/mm]
Du meinst $x = [mm] (x_1, \dots, x_n)$, [/mm] nicht? Ein $v$ kommt ja schliesslich nicht vor. Und eigentlich brauchst du das auch gar nicht so aufzuschluesseln, wenn ihr schon hattet dass das unitaere Skalarprodukt ebenfalls positiv definit ist, das also aus [mm] $\langle [/mm] x, x [mm] \rangle [/mm] = 0$ folgt $x = 0$.
> Also [mm]U\cap U^{\perp}=0.[/mm]
Ja.
LG Felix
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