unitäre irreduz. Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:31 Do 06.11.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Für m [mm] \in \mathbb{N} \cup \{0\} [/mm] gibt es [mm] 2^m [/mm] unitäre Polynome vom Grad m im Polynomring [mm] \mathbb{F}_2[x]. [/mm] Weil [mm] \mathbb{F}_2[x] [/mm] ein Euklidischer Ring und damit ein ZPE-Ring ist, lässt sich jedes unitäre Polynom vom Grad [mm] \geq [/mm] 1 eindeutig als Produkt von unitären und irreduziblen Polynomen schreiben. Listen Sie alle 30=2+4+8+16 unitären Polynome vom Grad d [mm] \in\{1,2,3,4\} [/mm] und ihre Produkt-Zerlegungen in unitäre und irreduzible Polynome auf. |
Hallo,
[mm] F_2 [/mm] hat ja nur zwei Elemente: [mm] \mathbb{F}_2 [/mm] = [mm] \{0,1\}. [/mm]
Warum gibt es immer [mm] 2^m [/mm] Polynome?
Für d=1: f(x) = x.
d=2:
f(x) = x²+ax+b
d=3:
f(x) = x³+ax²+bx+c
d=4:
f(x) = x⁴+ax³+bx²+cx+d
Woher weiß ich die Koeffizienten?
Weil dann müsste ich ja alle durchgehen und 0 bzw 1 einsetzen,also die Nullstellen finden und die Polynome dann so zerlegen... ??
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 So 09.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hänge immer noch an dieser Aufgabe .... vielleicht hilft dieser Satz hier ja irgendwie weiter:
Sei R ein Integritäts und f(x) [mm] \in [/mm] R[x] unitär mit deg f(x) [mm] \in \{2,3\}. [/mm] Dann gilt: f(x) ist irreduzibel in R[x] [mm] \gdw [/mm] f(x) hat keine Nullstelle in R.
Für f(x) [mm] \geq [/mm] 4 gilt nur noch [mm] \Rightarrow.
[/mm]
Allerdings weiß ich immer noch nicht ob ich die Polynome in obigem Post richtig hingeschrieben habe...?
Freue mich über alle weiterhelfenden Hinweise!
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 09.11.2008 | | Autor: | PeterB |
Ich glaube du denkst bei dieser Aufgabe viel zu kompliziert:
Den ersten Teil (die Anzahl) hast du fast schon gelöst:
Bei d=1 ist dir ein kleiner Fahler unterlaufen: Im Allgemeinen gilt natürlich $f(x)=x+a$. Wenn du deine Reihe fortsetzt, dann darfst du beim Polynom m-ten Grades $m$ Koeffizienten frei aus [mm] $\{0,1\}$ [/mm] wählen. Das gibt die gewünschte Anzahl.
Den zweiten Teil löst man am einfachsten elementar: Sei $f$ ein reduzibles Polynom, dann gilt $f=gh$ mit $g$ und $h$ nicht konstanten Polynomen. Es gilt aber [mm] $\deg f=\deg [/mm] g [mm] +\deg [/mm] h$. Wenn wir jetzt noch o.B.d.A. [mm] $\deg g\leq \deg [/mm] h$ fordern folgt [mm] $\deg g\leq \frac {\deg f} [/mm] 2$ und es folgt, dass $f$ von einem Polynom von höchstens halbem Grad geteilt wird. Natürlich reicht es die Teilbarkeit durch irreduzible Polynome vom grad [mm] $\leq \frac {\deg f} [/mm] 2$ zu testen. D.h. in deinem Fall musst du maximal die Teilbarkeit durch irreduzible Polynome vom grad [mm] $\leq [/mm] 2$ testen. Und es gibt nur eines vom Grad 2 und 2 vom Grad 1. Das sollte also nicht so aufwendig sein.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Peter,
vielen Dank für deine Hinweise. Wie die Polynome aussehen, habe ich nun verstanden. Ich habe jetzt immer dieses Kriterium benutzt:
Sei R ein Integritätsring, f(x) [mm] \in [/mm] R[x] unitär mit deg f(x [mm] =\{2,3\}.
[/mm]
f(x) ist irreduzibel in R[x] [mm] \gdw [/mm] f(x) hat keine Nullstelle in R.
Für deg f(x) [mm] \geq [/mm] 4 gilt nur noch [mm] \Rightarrow.
[/mm]
Also ich meine die Polynome vom Grad 1 sind ja gerade [mm] f_1(x) [/mm] = x und [mm] f_2(x) [/mm] = x+1, die kann man ja nicht weiter zerlegen.
Für den Grad 2 und 3 habe ich das Kriterium benutzt.
Bei Grad 4 habe ich nun z.B. das Polynom
f(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] (x+1) irreduzibel zerlegt.
Bei folgenden
f(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] +x +1
f(x) = [mm] x^4 [/mm] + x + 1
f(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + 1
f(x) [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 1
kann ich ja das mit den Nullstellen nicht anwenden.
D.h. hier muss ich wohl mit deinem Tipp arbeiten? Aber ich verstehe nicht ganz, wieso gibt es nur ein Polynom vom Grad 2 das ich testen müsste?
Muss ich nun alle 4 Polynome durch x, x+1 und durch das eine (welches?) von Grad 2 vesuchen zu teilen?
Also durch (x+1) hab ich es schon versucht, das geht aber nicht auf...
Wie funktioniert das hier?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Di 11.11.2008 | | Autor: | PeterB |
Hallo Riley,
mein Argument ist das folgende: Wenn dein Polynom $f$ reduzibel ist, wird es von einem (nicht konstanten) Polynom $g$ vom Grad [mm] $\leq [/mm] 2$ geteilt. Das Polynom $g$ wird aber von einem irreduziblen Polynom $h$ vom grad [mm] $\leq [/mm] deg g [mm] \leq [/mm] 2$ geteilt. D.h.: Für ein Polynome $f$ vom Grad 4: $f$ ist irreduzibel, wenn es von keinem irreduziblen Polynom vom Grad [mm] $\leq [/mm] 2$ geteilt wird.
Die irreduziblen Polynome vom Grad 1 sind wie du richtig sagst $x$ und $x-1$ (Allgemein sind alle Polynome vom Grad 1 irreduzibel)
Im Grad 2 gibt es nun nur ein irreduzibles Polynom: [mm] $f(x)=x^2+x+1$ [/mm] Das ist das letzte, das du testen musst.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Mo 10.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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