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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mo 27.12.2010 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Man soll zeigen:
Ist f ungerade, so gilt: [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0 [/mm] |
Mein Ansatz:
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm]
jetzt möchte ich das erste Intagral gerne "umdrehen":
[mm] =-\integral_{0}^{-a}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=-\integral_{0}^{a}{f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
jetzt nutze ich die Eigenschaft, dass f gerade => f(-x)=-f(x):
[mm] =-\integral_{0}^{a}{-f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=\integral_{0}^{a}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=2\integral_{0}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
allerdings ist das ja genau dann der fall, wenn f(x) gerade ist.
ich weiß aber einfach nicht, wo mein Fehler ist.
Ich hoffe mir kann jmd auf die Sprünge helfen
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Hallo,
> Man soll zeigen:
> Ist f ungerade, so gilt: [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt möchte ich das erste Intagral gerne "umdrehen":
> [mm]=-\integral_{0}^{-a}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=-\integral_{0}^{a}{f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm]
>
Das Gleichheitszeichen stimmt m.E. nicht. Ziehe das vordere Minus direkt ins Integral (Linearität) und nutze dann aus, dass f ungerade ist. Anschließend substituierst du y:=-x, dann erhälst du zweimal den gleichen Ausdruck mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Gruß Patrick
> jetzt nutze ich die Eigenschaft, dass f gerade =>
> f(-x)=-f(x):
> [mm]=-\integral_{0}^{a}{-f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=\integral_{0}^{a}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=2\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm]
>
> allerdings ist das ja genau dann der fall, wenn f(x) gerade
> ist.
> ich weiß aber einfach nicht, wo mein Fehler ist.
> Ich hoffe mir kann jmd auf die Sprünge helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mo 27.12.2010 | | Autor: | xtraxtra |
was meinst du mit: ziehe das vordere Minus direkt ins integral?
ich weiß leider nicht ganz genau, ab wann es bei mir falsch wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> was meinst du mit: ziehe das vordere Minus direkt ins
> integral?
> ich weiß leider nicht ganz genau, ab wann es bei mir
> falsch wird.
> Mein Ansatz:
> $ [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm] $
> jetzt möchte ich das erste Intagral gerne "umdrehen":
> $ [mm] =-\integral_{0}^{-a}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=\red{-\integral_{0}^{a}{f(-x) dx}}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}\blue{=(\star)} [/mm] $
> jetzt nutze ich die Eigenschaft, dass f gerade
hier meintest Du
ungerade
> => f(-x)=-f(x):
Zu oben:
Der Fehler liegt in dem roten Term nach dem Gleichheitszeichen. Du substituierst dort doch quasi [mm] $t:=-x\,$ [/mm] und dann gilt wegen [mm] $dt=-dx\,$ [/mm] und $x=0 [mm] \gdw [/mm] t=0$ und $x=-a [mm] \gdw [/mm] t=a$ nun
[mm] $$-\int_{x=0}^{x=-a} f(x)dx=-\int_{t=0}^{t=a} f(-t)(-dt)=\int_{0}^a f(-t)dt\,,$$ [/mm]
so dass in dem roten Term einfach das Minuszeichen vor dem Integral zuviel vorhanden ist (anstatt [mm] $t\,$ [/mm] hast Du dann die Integrationsvariable bei der Benennung [mm] $x\,$ [/mm] belassen).
An der Stelle bist Du dann aber auch schon fertig, weil es dann (nachdem man bei dem roten Term korrekterweise das Minuszeichen entfernt hat) weitergeht mit
[mm] $$\blue{(\star)}=\int_0^a f(-x)dx+\int_0^a f(x)dx=\int_0^a (f(-x)+f(x))dx\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $f\,$ungerade [/mm] ist der letzte Integrand $f(-x)+f(x)$ gerade die Nullfunktion (auf [mm] $[-a,a]\,$).
[/mm]
Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mi 29.12.2010 | | Autor: | xtraxtra |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Damit wäre dieses Problem gelöst 
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