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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 So 26.11.2006 | | Autor: | seifisun |
| Aufgabe | | Sei q [mm]\in \mathbb{R}[/mm], |q|<1. Begründen Sie die angegebene Gleichung und ermitteln Sie die Summe der Reihen [mm]\sum_{(k,l) \in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0} q^{k+l} = \sum_{n=1}^{\infty} n * q^{n-1}[/mm] |
1. Problem : ich verstehe den Sinn der ersten Summenformulierung nicht ganz. Was soll das mit dem Indexpaar (k,l) bedeuten?
2. Problem : wie kann ich die zweite Summe allgemein lösen? Ich kann bei gebrochenen Zahlen die Summe bestimmen, aber bei irrationalen Zahlen komm ich einfach nicht weiter.
Bitte helft mir.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
edit: 1. ist nun geklärt, die Frage für 2. steht allerdings noch, wie soll ich bei irrationalen Zahlen für diese Reihe einen Grenzwert finden?
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[mm](k,l) \in \left( \mathbb{N}_0 \, , \, \mathbb{N}_0 \right)[/mm] heißt einfach, daß die Indizes [mm]k,l[/mm] unabhängig voneinander von [mm]0[/mm] bis [mm]\infty[/mm] laufen. Eine solche Doppelsumme entsteht, wenn man die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty}~q^n[/mm] mit sich selbst multipliziert (Distributivgesetz "jeder mit jedem"):
[mm]\left( 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + \ldots \right) \cdot \left( 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + \ldots \right)[/mm]
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