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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 So 27.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}} \bruch{{({tan^4}x)^{\bruch{1}{3}}}*e^{-x}}{{x^2*sinx^{\bruch{1}{3}}} } dx [/mm] |
ich habe das ganze so versucht:
kritische Stelle: [mm] x=0 [/mm]
Heuristik: fuer [mm] x\to[/mm] [mm] 0 [/mm]
[mm] \bruch{{({tan^4}x)^{\bruch{1}{3}}}*e^{-x}}{{x^2*sinx^{\bruch{1}{3}}} } \simeq \bruch{x^{\bruch{1}{3}}*1}{x^2*x^{\bruch{1}{3}}} \simeq \bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] vermutung: konvergent
Also wende Majorantenkrit an:
[mm] \left| f(x) \right| [/mm] = [mm] \bruch{{({tan^4}x)^{\bruch{1}{3}}}*e^{-x}}{{x^2*sinx^{\bruch{1}{3}}} } [/mm] mit [mm] 0
mit dem Mittelwertsatz habe ich abgeschätzt:
[mm] [mm] sinx^{\bruch{1}{3}} \ge cos{\bruch{\pi}{4}}*x^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] e^{-x} \le [/mm] 1
[mm] \le \bruch{(tan^{4}x)^{\bruch{1}{3}}*1}{x^2*cos{\bruch{\pi}{4}}*x^{\bruch{1}{3}}}
[/mm]
es gilt: [mm] \bruch{tanx}{x} [/mm] = 1 für x [mm] \to [/mm] 0
[mm] \le \bruch{{(\bruch{tan^{4}x}{x})^{\bruch{1}{3}}}*x^{\bruch{1}{3}}}{{x^2*cos{\bruch{\pi}{4}}*x^{\bruch{1}{3}}}}
[/mm]
ein therm gegen 1 das [mm] x^{\bruch{1}{3}} [/mm] kürzt sich weg dann hab ich im prinzip noch [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] und eine Konstante die in Bezug auf die Konvergenz vernachlässigt werden kann.
[mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ist eine standartmajorante und KOnvergent...
ich bin mir aber nicht sicher ob ich das so machen kann???
gruß Lukas
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> [mm][mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}} \bruch{{({tan^4}x)^{\bruch{1}{3}}}*e^{-x}}{{x^2*sinx^{\bruch{1}{3}}} }[/mm] dx [mm][/mm][/mm]
ich habe das ganze so versucht:
kritische Stelle: [mm]x=0[/mm]
Heuristik: fuer [mm]x\to[/mm] [mm]0[/mm]
[mm]\bruch{{({tan^4}x)^{\bruch{1}{3}}}*e^{-x}}{{x^2*sinx^{\bruch{1}{3}}} } \simeq \bruch{x^{\bruch{1}{3}}*1}{x^2*x^{\bruch{1}{3}}} \simeq \bruch{1}{x^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] vermutung: konvergent
Kann ich nicht glauben, denn in erster Näherung, für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$, ist ja sowohl [mm] $\tan(x)=x+o(x)$ [/mm] als auch und [mm] $\sin(x)=x+o(x)$ [/mm] (d.h. beide sind in erster Näherung linear in $x$). Der Faktor [mm] $e^{-x}$ [/mm] ist für die Konvergenz wegen [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}e^{-x}=1$ [/mm] für die Frage der Konvergenz dieses Integrals an der unteren Grenze $0$ ganz unerheblich. Was dann noch bleibt hat die Form [mm] $\frac{(x+o(x))^{4/3}}{x^2\cdot (x+o(x))^{1/3}}=\frac{x^{4/3}\cdot(1+o(1))^{4/3}}{x^2\cdot x^{1/3}\cdot(1+o(1))^{1/3}]}=\frac{1}{x}\cdot (1+o(1))^2$. [/mm] Das heisst: Dein Integrand verhält sich für den Grenzübergang [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$ asymptotisch wie [mm] $\frac{1}{x}$. [/mm] Aber das Integral [mm] $\int_0^b\frac{1}{x}\;dx$ [/mm] existiert an der unteren Grenze nicht: also würde ich behaupten wollen, dass Dein Integral (an der unteren Grenze) gegen [mm] $+\infty$ [/mm] divergiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 So 27.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zusätzlich zu somebody
Warum ist [mm] 1/x^2 [/mm] eine konvergente Majorante? doch wohl für x gegen [mm] \infty, [/mm] nicht für x gegen 0!
(aber [mm] 1/x^2 [/mm] ist ja eh falsch.
Gruss leduart
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