uneigentliche Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Di 04.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich habe flgende frage:
und zwar verstehe ich das bestimmen uneiegntlicher Integrale nicht ganz.
das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{ \bruch{1}{x^5}dx} [/mm] kann bestimmt werden, dazu wird die die stammfunktion ausgerechnet
F(x)= [mm] \bruch{-1}{4*x^4} [/mm] setzt man nun aber die beiden intervallgrenzen ein, so komtm ja nur schwachsinn raus also vor allem
[mm] \bruch{-1}{4*(-(\infty)^4} [/mm] und eigentlich haben wir das so gelernt, dass sobald in dieser Rechung etwas schwachsinniges rauskommt das Integral auch in ehct nicht existiert, da in dne beispielrechnungen z.B. f(x) = [mm] (1/x^2) [/mm] ja mit den grenzen + unendlich und 1 , dass + unendlich seinen teil der stammfunktion gegen 0 gehen lässt.
noch eine zweite frage warum kann an dieses integrla nciht bestimmen [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{ \bruch{1}{x^{2/3}}dx}, [/mm] weil die stammfunktion ja lautet:
3*x^(1/3) . bildlich betrachtet geht die funktion für minus unendlich doch geegn 0 , diese hilfe benutzt man ja auch anscheind bei meiner ersten funktion, weshlab geht das also hier nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Di 04.11.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
Also erst etwas Grundsätzliches zu uneigentlichen Integralen.
[mm] \integral_{-\infty}^{b}{f(x) dx}:=\limes_{a\rightarrow -\infty}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-\limes_{a\rightarrow -\infty}F(a), [/mm] falls diese Grenze existiert. Ansonsten ist der Integralwert nicht definiert oder wird [mm] als\pm\infty [/mm] angenommen. D.h. man kann nicht einfach [mm] \infty [/mm] für eine der beiden Integralgrenzen einsetzen.
> [mm]\bruch{-1}{4*(-(\infty)^4}[/mm] und eigentlich haben wir das
> so gelernt, dass sobald in dieser Rechung etwas
> schwachsinniges rauskommt das Integral auch in ehct nicht
> existiert, da in dne beispielrechnungen z.B. f(x) = [mm](1/x^2)[/mm]
Bei der Integration gibt es eine weitere Falle, auf die man achten muss. Die wird gerade durch das Beispiel f=1/x immer illustriert. Wenn man 1/x auf [a;b] mit a>0 integriert ist alles i.O. Wenn aber [mm] a\le [/mm] 0, ist dann der Integrand f=1/x bei Null nicht definiert! Insbesondere wird der Integralwert dann i.A. nicht existieren, d.h. [mm] =\infty. [/mm] Um das genau zu behandeln muss man den Integral aufspalten und zur Grenze übergehen, also
[mm] \integral_{-\infty}^{b}{\bruch{1}{x} dx}=\limes_{a\rightarrow -\infty}\limes_{c\rightarrow 0, c<0}\integral_{a}^{c}{\bruch{1}{x} dx}+\limes_{d\rightarrow 0, d>0}\integral_{d}^{b}{\bruch{1}{x} dx}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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