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| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden unbestimmten Integral:
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} (4x+2)\wurzel[3]{2x^2+2x-1}*dx [/mm] |
Ich habe leider keinen Plan wie ich das angehen soll. Ich habe zb gesehen, dass man für bestimmte Ausdrücke eine Variable nutzt. zb u = [mm] 2x^2+2x-1 [/mm] usw. , aber wozu? und wie kann mir das helfen.
Freue mich über jede Hilfe
Danke LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mi 26.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie folgenden unbestimmten Integral:
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx} (4x+2)\wurzel[3]{2x^2+2x-1}*dx[/mm]
>
> Ich habe leider keinen Plan wie ich das angehen soll. Ich
> habe zb gesehen, dass man für bestimmte Ausdrücke eine
> Variable nutzt. zb u = [mm]2x^2+2x-1[/mm] usw. , aber wozu? und wie
> kann mir das helfen.
Mit obiger Substitution [mm] u=2x^2+2x-1 [/mm] bekommst Du du=(4x+2)dx und damit
[mm] \integral_{}^{}{ (4x+2)\wurzel[3]{2x^2+2x-1}dx}= \integral_{}^{}{ \wurzel[3]{u}du}
[/mm]
FRED
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> Freue mich über jede Hilfe
>
> Danke LG
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Ist das schon das Ergebnis?
was passierte mit dem 4x+2 vor der Wurzel?
Danke LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Prinzessin!
> Ist das schon das Ergebnis?
Nein, das ist (selbstverständlich) noch nicht das gesuchte Ergebnis.
Es ist eine Stammfunktion gesucht, sprich: es muss noch integriert werden, mit der Variablen [mm]x_[/mm] und nicht [mm]u_[/mm] .
> was passierte mit dem 4x+2 vor der Wurzel?
Das hat sich rausgekürzt durch die Umwandlung des Differentials [mm]\mathrm{dx}[/mm] in [mm]\mathrm{du}[/mm] .
Gruß
Loddar
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Ich glaub ich habs jetzt :) Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 27.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist das schon das Ergebnis?
vielleicht einmal, damit Du diese
![[]](/images/popup.gif) Substitution
besser verstehst, mal nochmal formal:
Es war:
[mm] $\integral (4x+2)\wurzel[3]{2x^2+2x-1}dx\,.$
[/mm]
(Das [mm] "$f(x)\,dx$" [/mm] darin war überflüssig - vermutlich war das nur C&P...)
Mit
[mm] $u(x):=2x^2+2x-1\,$
[/mm]
ist
[mm] $u\,'(x)=4x+2\,.$
[/mm]
Hier bietet sich die Leibniznotation an:
[mm] $\frac{du}{dx}=4x+2$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm]
[mm] [red]($\red{\*}$)[/red] $\red{du=(4x+2)dx}\,.$
[/mm]
Damit
[mm] $\integral (4x+2)\wurzel[3]{2x^2+2x-1}dx$
[/mm]
[mm] $=\integral \wurzel[3]{2x^2+2x-1}\red{(4x+2)dx}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{\substack{u=2x^2+2x-1 \\ \red{(\*)}}}{=}\int \sqrt[3]{u}du\,.$
[/mm]
Nur mal als Hinweis:
Hätte da
[mm] $\integral_a^b (4x+2)\wurzel[3]{2x^2+2x-1}dx$
[/mm]
gestanden, so hättest Du auch die Grenzen vermittels
[mm] $x=a\,$ $\Rightarrow$ $u(x)=u(a)=2a^2+2a-1$
[/mm]
und
[mm] $x=b\,$ $\Rightarrow$ $u(x)=u(b)=2b^2+2b-1$
[/mm]
ersetzen müssen:
[mm] $\integral_a^b (4x+2)\wurzel[3]{2x^2+2x-1}dx$
[/mm]
[mm] $=\integral_{u(a)}^{u(b)} \wurzel[3]{u}du$
[/mm]
[mm] $=\integral_{2a^2+2a-1}^{2b^2+2b-1} \wurzel[3]{u}du\,.$
[/mm]
Und noch ergänzend zu oben:
Wenn Du
[mm] $\int \sqrt[3]{u}du$
[/mm]
berechnet hast:
Vergesse nicht, dass Du eine Funktion in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] und nicht bzgl.
[mm] $u\,$ [/mm] am Ende stehen haben willst - das bedeutet:
Resubstitution nicht vergessen!
Gruß,
Marcel
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