Übungsserie 3, Aufgabe 3 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | III-3: Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen in der Form a+bi :
(i) [mm] (3-2i)^{3}
[/mm]
(ii) [mm] (\bruch{1-i}{1+i})^{10}
[/mm]
(iii) [mm] \bruch{5}{3-4i} [/mm] + [mm] \bruch{10}{4+3i} [/mm] |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] \begin{matrix}
(3-2i)^3&=& 27 - 9*2i + 3*4i^2 - (2i)^3 \\
\ &=& 27 - 18i -12 -8i^3 \\
\ &=& 15 - 18i + 8i \\
\ &=& 15 - 10i
\end{matrix}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
Du hast hier beim Ausmultiplizieren einige Faktoren / Koeffizienten vergessen.
Es gilt:
[mm](a+b)^3 \ = \ a^3+\red{3}*a^2*b+\red{3}*a*b^2+b^3[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hallo Loddar,
[mm] \begin{matrix}
(3-2i)^3&=& 27 - 3*9*2i + 3*3*4i^2 - (2i)^3 \\
\ &=& 27 - 54i -36 -8i^3 \\
\ &=& -9 - 54i + 8i \\
\ &=& -9 - 46i
\end{matrix}
[/mm]
Hab das jetzt verbessert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
> [mm]\begin{matrix} (3-2i)^3&=& 27 - 3*9*2i + 3*3*4i^2 - (2i)^3 \\
\ &=& 27 - 54i -36 -8i^3 \\
\ &=& -9 - 54i + 8i \\
\ &=& -9 - 46i \end{matrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So stimmt es.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] \begin{matrix}
\left( \frac{1 - i}{1+i} \right)^{10} &=& \frac{(1-i)^{10}}{(1+i)^{10}} \\
\ & =& \frac{((1-i)^2)^5}{((1+i)^2)^5}\\
\ & =& \frac{(1-2i+i^2)^5}{(1+2i+i^2)^5}\\
\ & =& \frac{(-2i)^5}{(2i)^5}\\
\ & =& \left( -\frac{2i}{2i} \right)^5\\
\ & =& (-1)^5\\
\ & =& -1\\
\end{matrix}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
Das Ergebnis ist korrekt. Etwas schneller wärst Du wohl gewesen, wenn Du zunächst den Bruch umgeformt und vereinfacht hättest:
[mm]\bruch{1-i}{1+i} \ = \ \bruch{(1-i)*(1-i)}{(1+i)*(1-i)} \ = \ \bruch{1-2*i+i^2}{1-i^2} \ = \ ...[/mm]
Und nach dem Vereinfachen dann [mm](...)^{10}[/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo!
Da diese Aufgabe auch für Interessierte ist, versuch ich es mal
(i) [mm] (3-2i)^3=(3-2i)^2*(3-2i)=(9-12i+4i^2)*(3-2i)
[/mm]
[mm] =(-12i+5)*(3-2i)=-36i+24i^2+15-10i=-46i-24+15=-9-46i
[/mm]
(ii) Betrachte zunächst [mm] \bruch{1-i}{1+i}=\bruch{1-i}{1+i}*\bruch{1-i}{1-i}=\bruch{(1-i)^2}{1-i+i-i^2}=\bruch{1-2i+i^2}{2}=\bruch{-2i}{-2}=-i
[/mm]
=>$ [mm] (\bruch{1-i}{1+i})^{10} [/mm] $ [mm] =(-i)^10=(-i)^2*(-i)^2*(-i)^2*(-i)^2*(-i)^2=i^2*i^2*i^2*i^2*i^2=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=-1
[/mm]
(iii) Betrachte zunächst [mm] \bruch{5}{3-4i}
[/mm]
[mm] \bruch{5}{3-4i}=\bruch{5}{3-4i}*\bruch{3+4i}{3+4i}=\bruch{15+20i}{9+12i-12i-16i^2}=\bruch{15+20i}{25}=\bruch{3}{5}+\bruch{4}{5}*i
[/mm]
Betrachte nun [mm] \bruch{10}{4+3i}
[/mm]
[mm] \bruch{10}{4+3i}=\bruch{10}{4+3i}*\bruch{4-3i}{4-3i}=\bruch{40-30i}{14-12i+12i-9i^2}=\bruch{40-30i}{25}=\bruch{8}{5}-\bruch{6}{5}*i
[/mm]
=> $ [mm] \bruch{5}{3-4i} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{10}{4+3i} $=\bruch{3}{5}+\bruch{4}{5}*i+\bruch{8}{5}-\bruch{6}{5}*i=\bruch{11}{5}-\bruch{2}{5}*i
[/mm]
Alles ok so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo TheBozz-mismo!
Ich konnte keinen Fehler entdecken. Alle Ergebnisse sind richtig. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gruß
Loddar
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Danke für die Bestätigung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] \begin{matrix}
\frac{5}{3-4i} + \frac{10}{4+3i}&=& \frac{5*(4+3i)+10*(3-4i)}{(3-4i)(4+3i)} \\
\ & =& \frac{20+15i+30-40i}{12+9i-16i+12} \\
\ &=& \frac{50 - 25i}{24-7i} \\
\ &=& \frac{(50-25i)(24+7i)}{576+49} \\
\ &=& \frac{1200 + 350i - 600 + 175}{625} \\
\ &=& \frac{775+350i}{625} \\
\ &=& \frac{775}{625} + \frac{350}{625}i \\
\ &=& \frac{31}{25} + \frac{14}{25}i
\end{matrix}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
> [mm]\begin{matrix} \frac{5}{3-4i} + \frac{10}{4+3i}&=& \frac{1200 + 350i - 600 + 175}{625} \end{matrix}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier ist Dir ein [mm]i_[/mm] verloren gegangen. [mm]-25i*24_[/mm] ergibt [mm]-600*\red{i}[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hallo Loddar,
Mist.
Das füge ich dann noch schnell ein...:
$ [mm] \begin{matrix} \frac{5}{3-4i} + \frac{10}{4+3i}&=& \frac{5\cdot{}(4+3i)+10\cdot{}(3-4i)}{(3-4i)(4+3i)} \\ \ & =& \frac{20+15i+30-40i}{12+9i-16i+12} \\ \ &=& \frac{50 - 25i}{24-7i} \\ \ &=& \frac{(50-25i)(24+7i)}{576+49} \\ \ &=& \frac{1200 + 350i - 600i + 175}{625} \\ \ &=& \frac{1375-250i}{625} \\ \ &=& \frac{1375}{625} - \frac{250}{625}i \\ \ &=& \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i \end{matrix} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
> [mm]\frac{11}{5} - \frac{2}{5}i[/mm]
Nun stimmt's.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hallo Loddar,
danke für die Korrektur!
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