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Sei P3 der Raum der reellen Polynome von Grad höchstens drei. Sei B die durch die Legendre-Polynome
(1, x, 1/2 [mm] (3x^{2}-1), [/mm] 1/2 ( [mm] 5x^{3}-3x))
[/mm]
gegebene Basis und B'die durch Tschebyschow-Polynome
(1, x, [mm] 2x^{2}-1, 4x^{3}-3x) [/mm] geg. Basis
Man bestimme die Übergangsmatrix für den Basiswechsel von B nach B'.
</task>
Hallo,
ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung und habe die Lösung für folgende Aufgabe vorliegen. Leider verstehe ich jedoch folgende Schritte nicht (nachfolgend fett markiert)
Lösung:
</task>
Hallo,
ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung und habe die Lösung für folgende Aufgabe vorliegen. Leider verstehe ich jedoch einige Schritte nicht (siehe unten)
Lösung:
Behauptung: Die Übergangsmatrix hat die Form
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3/5 \\ 0 & 0 & 4/3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8/5}
[/mm]
Beweis. Wir müssen die neuen Basisvektoren bi', i = 1, . . . , 4 als Linearkombinationen der alten Basisvektoren bi, i = 1, . . . , 4 ausdrücken, d.h. für jedes i 2 {1, . . . , n} müssen wir
Skalare [mm] \alphai, \betai, \gammai [/mm] und deltai finden, so dass
bi' = [mm] \alphai [/mm] * b1+ [mm] \betai [/mm] *b2 + [mm] \gammai [/mm] *b3 + [mm] \deltai [/mm] *b4
Die Linearkombination für b'1 und b'2 lassen sich sofort hinschreiben. Es ist
b'1 = 1 = 1 · 1
b'2 = x = 1 · x.
Um die Linearkombinationen für b'3 und b'4 zu bestimmen, müssen wir Koffizienten vergleichen.
!!!Was passiert jetzt ??? Den nachfolgenden Schritt verstehe ich nicht!!!??
Die Gleichung
b'3 = [mm] 2x^2 [/mm] - 1 [mm] =\alpha3 [/mm] · 1 + [mm] \beta3 [/mm] · x +
[mm] \gamma3 [/mm] · 0,5 [mm] (3x^2 [/mm] - 1) + [mm] \delta3 [/mm] *0,5 [mm] (5x^3 [/mm] - 3x)
liefert
[mm] \bruch{5}{2} \delta3 [/mm] = 0 daraus folgt [mm] \delta3 [/mm] = 0 (woher kommt die Null?)
[mm] \bruch{3}{2} \gamma3 [/mm] = 2 (woher ist diese 2??) daraus folgt [mm] \gamma3 [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} [/mm] (wie bestimmt man [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ?)
[mm] \beta3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \gamma3 [/mm] = 0 (woher kommt die Null?)
daraus folgt [mm] \beta3 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}\gamma3 [/mm] =0 (??)
und
[mm] \alpha3 [/mm] die selbe rechnung......
usw. daruas folgt dann die Übergangsmatrix, die nur abgelesen wird, aber den oben stehenden Schritt verstehe ich nicht!
Ich habe meine angaben überarbeitet und hoffe das mir jemand helfen kann den einen schritt zu verstehen
liebe grüße
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> Sei P3 der Raum der reellen Polynome von Grad höchstens
> drei. Sei B die durch die Legendre-Polynome
> (1, x, 1/2 [mm](3x^{2}-1),[/mm] 1/2 ( [mm]5x^{3}-3x))[/mm]
> gegebene Basis und B'die durch Tschebyschow-Polynome
> (1, x, [mm]2x^{2}-1, 4x^{3}-3x)[/mm] geg. Basis
> Man bestimme die Übergangsmatrix für den Basiswechsel von
> B nach B'.
>
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> Hallo,
>
> ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung und habe die
> Lösung für folgende Aufgabe vorliegen. Leider verstehe ich
> jedoch folgende Schritte nicht (nachfolgend fett markiert)
>
> Lösung:
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>
> Hallo,
>
> ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung und habe die
> Lösung für folgende Aufgabe vorliegen. Leider verstehe ich
> jedoch einige Schritte nicht (siehe unten)
>
> Lösung:
>
> Behauptung: Die Übergangsmatrix hat die Form
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3/5 \\ 0 & 0 & 4/3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8/5}[/mm]
>
>
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> Beweis. Wir müssen die neuen Basisvektoren [mm] b_i', [/mm] i = 1, . .
> . , 4 als Linearkombinationen der alten Basisvektoren [mm] b_i, [/mm] i
> = 1, . . . , 4 ausdrücken, d.h. für jedes i 2 {1, . . . ,
> n} müssen wir
> Skalare [mm]\alpha_i, \beta_i, \gamma_i[/mm] und deltai finden, so
> dass
>
> [mm] b_i' [/mm] = [mm]\alpha_i[/mm] * [mm] b_1+[/mm] [mm]\beta_i[/mm] [mm] *b_2 [/mm] + [mm]\gamma_i[/mm] [mm] *b_3 [/mm] + [mm]\delta_i[/mm] *_4
Hallo,
das müssen wir tun, weil in der Transformationsmatrix in der i-ten Spalte jeweils die i-te Basisvektor von B in Koordinaten bzgl B' zu stehen kommt.
>
> Die Linearkombination für b'1 und b'2 lassen sich sofort
> hinschreiben. Es ist
> [mm] b_1' [/mm] = 1 = 1 · 1
> [mm] b_2' [/mm] = x = 1 · x.
>
> Um die Linearkombinationen für [mm] b_3' [/mm] und [mm] b_4' [/mm] zu bestimmen,
> müssen wir Koffizienten vergleichen.
>
> !!!Was passiert jetzt ??? Den nachfolgenden Schritt
> verstehe ich nicht!!!??
Nun wird geschaut, wie man [mm] b_3' [/mm] als Linearkombination von [mm] b_1, b_2, b_3, b_4 [/mm] schreiben kann, denn die Koeffizienten werden die Einträge der Matrix.
>
> Die Gleichung
>
> b'3 = [mm]2x^2[/mm] - 1 [mm]=\alpha3[/mm] · 1 + [mm]\beta3[/mm] · x +
> [mm]\gamma3[/mm] · 0,5 [mm](3x^2[/mm] - 1) + [mm]\delta3[/mm] *0,5 [mm](5x^3[/mm] - 3x)
nun sotieren:
= (...) [mm] x^3 [/mm] + [mm] (...)x^2 [/mm] + (...)x+ (...)*1
>
> liefert
durch einen Vergleich der Koeffizienten von [mm]2x^2[/mm] - 1 [mm] und [mm] (...)x^3 [/mm] + [mm] (...)x^2 [/mm] + (...)x+ (...)*1:
>
> [mm]\bruch{5}{2} \delta3[/mm] = 0 daraus folgt [mm]\delta3[/mm] = 0
> (woher kommt die Null?)
>
> [mm]\bruch{3}{2} \gamma3[/mm] = 2 (woher ist diese 2??) daraus
> folgt [mm]\gamma3[/mm] = [mm]\bruch{4}{3}[/mm] (wie bestimmt man [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> ?)
> [mm]\beta3[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \gamma3[/mm] = 0 (woher kommt die Null?)
> daraus folgt [mm]\beta3[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}\gamma3[/mm] =0 (??)
> und
> [mm]\alpha3[/mm] die selbe rechnung......
dann och für [mm] b_4'
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> usw. daruas folgt dann die Übergangsmatrix, die nur
> abgelesen wird, aber den oben stehenden Schritt verstehe
> ich nicht!
>
> Ich habe meine angaben überarbeitet und hoffe das mir
> jemand helfen kann den einen schritt zu verstehen
>
> liebe grüße
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