total differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie $f(x,y) = |x|sin(|y|)$ in $(0,0)$ auf totale Differenzierbarkeit. |
Zunächst zwei Ansätze die eventuell totale Differenzierbarkeit ausschließen:
i) Stetigkeit. $f(x)$ ist als Verkettung stetiger Funktionen stetig.
ii) Weiter ist $f(x,0) = 0 , f(0,y) = 0$. Die partiellen Ableitungen in $0$ sind also [mm] $f_x(0,0) [/mm] = 0 [mm] \; [/mm] , [mm] f_y(0,0) [/mm] = 0$.
Beide Ansätze lassen es nicht zu totale Differenzierbarkeit auszuschließen.
Deshalb untersuche ich nun den Grenzwert:
[mm] $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(x-x_0)}{(x-x_0,y-y_0)}$$
[/mm]
Wenn ich zeigen kann dass dieser Grenzwert gegen 0 geht, bin ich fertig. Es folgt dann totale Differenzierbarkeit. Aber wie mache ich das?
Als Ansatz habe ich noch folgende Formel aus dem Skript:
Sei $e = [mm] (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$. [/mm] Dann gilt für alle $h [mm] \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$:
[/mm]
[mm] $$\frac{f(0+he)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \frac{1}{h} f(h\alpha,h\beta)$$
[/mm]
Aber auch damit sehe ich nicht wie ich den Grenzwert oben bearbeiten soll.
In anderen Aufgaben habe ich gesehen wie mit Polarkoordinaten rumgewerkelt, das haben wir aber glaube ich nicht gemacht.
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Achtung, in dieser Funktion steckt die Betragsfunktion.
Das hast du ignoriert.
Ist die Betragsfunktion im Nullpunkt differenzierbar?
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die Betrags funktion nicht, aber verkettung mehrerer Betragsfunktionen sicherlich wie man an
f(x)= |x|*|x| = [mm] x^2 [/mm] sieht
und da sich die sin-funktion nahe null ähnlich zur funktion h(x) = x verhält ist g(x,y) = |x|sin(|y|) für x=y sicherlich differenzierbar in (0,0).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo NighmareVirus!
Deine Aussagen mit "sicherlich" deuten schon darauf hin: sie sind nicht eindeutig diese Aussagen.
Und wenn Du hier $|x|*|x| \ = \ [mm] x^2$ [/mm] anführst, ist das Äpfel mit Birnen vergleichen, da in Deiner Aufgabe zwei unabhängige Variablen in Betragsstrichen stehen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
Hmmm ich weiss jetzt nicht worauf das ganze hinauslaufen soll.
Zunächst einmal:
Totale Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.
D.h. angenommen die Funktion wäre nicht stetig, folgt ja direkt dass sie nicht total differenzierbar ist. Laut Lösung ist sie aber total differenzierbar.
Demnach kann die Aussage, dass wegen des Betrages keine Stetigkeit vorliegt, nicht richtig sein.
Die Argumentation, dass ich ja 2 Variablen habe und deswegen nicht unbedingt stetigkeit vorliegt, kann ich nachvollziehen. Ich habe aber in meinem Beitrag auch daraufhingeiwesen dass ich den Spezialfall x=y betrachte.
Wie decke ich denn dann die anderen Fälle ab?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mo 21.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich habs doch schon gesagt:
f ist in (0,0) total differenzierbar !!
FRED
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Hallo NightmareVirus!
> Zunächst einmal:
>
> Totale Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> D.h. angenommen die Funktion wäre nicht stetig, folgt ja
> direkt dass sie nicht total differenzierbar ist. Laut
> Lösung ist sie aber total differenzierbar.
Das habe ich auch nie in Frage gestellt.
> Demnach kann die Aussage, dass wegen des Betrages keine
> Stetigkeit vorliegt, nicht richtig sein.
Auch das habe ich nicht behauptet. Ich habe lediglich darauf hingewiesen, dass eine Verknüpfung zweier Betragsterme (wie in Deinem genannten Beispiel) nicht auch automatisch differenzierbar ist.
Aber ich habe es auch nicht ausgeschlossen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mo 21.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie [mm]f(x,y) = |x|sin(|y|)[/mm] in [mm](0,0)[/mm] auf totale
> Differenzierbarkeit.
> Zunächst zwei Ansätze die eventuell totale
> Differenzierbarkeit ausschließen:
>
> i) Stetigkeit. [mm]f(x)[/mm] ist als Verkettung stetiger Funktionen
> stetig.
>
> ii) Weiter ist [mm]f(x,0) = 0 , f(0,y) = 0[/mm]. Die partiellen
> Ableitungen in [mm]0[/mm] sind also [mm]f_x(0,0) = 0 \; , f_y(0,0) = 0[/mm].
>
> Beide Ansätze lassen es nicht zu totale
> Differenzierbarkeit auszuschließen.
>
> Deshalb untersuche ich nun den Grenzwert:
>
> [mm]\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(x-x_0)}{(x-x_0,y-y_0)}[/mm]
So stimmt das nicht ! Besser:
[mm]\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(x-x_0)}{||(x-x_0,y-y_0)||}[/mm]
In Deinem Fall ist [mm] (x_0,y_0) [/mm] = (0,0). Berechne doch mal [mm] f_x(x_0,y_0) [/mm] und [mm] f_y(x_0,y_0). [/mm] Dann siehst Du:
[mm]\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(x-x_0)}{||(x-x_0,y-y_0)||}= 0[/mm]
FRED
>
> Wenn ich zeigen kann dass dieser Grenzwert gegen 0 geht,
> bin ich fertig. Es folgt dann totale Differenzierbarkeit.
> Aber wie mache ich das?
>
> Als Ansatz habe ich noch folgende Formel aus dem Skript:
>
> Sei [mm]e = (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm].
> Dann gilt für alle [mm]h \in \mathbb{R} \setminus \{0\}[/mm]:
>
> [mm]\frac{f(0+he)-f(0)}{h} = \frac{1}{h} f(h\alpha,h\beta)[/mm]
>
> Aber auch damit sehe ich nicht wie ich den Grenzwert oben
> bearbeiten soll.
> In anderen Aufgaben habe ich gesehen wie mit
> Polarkoordinaten rumgewerkelt, das haben wir aber glaube
> ich nicht gemacht.
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> Berechne doch mal
> [mm]f_x(x_0,y_0)[/mm] und [mm]f_y(x_0,y_0).[/mm]
Nun, für [mm] $x_0 =y_0 [/mm] = 0$ habe ich das ja bereits oben gemacht:
$$ [mm] f_x(0,0) [/mm] = 0 [mm] \; [/mm] , [mm] f_y(0,0) [/mm] = 0 $$
Allgemein ist
[mm] $$f_x [/mm] = [mm] \begin{cases}
sin(|y|) & \text{für } x > 0\\
-sin(|y|) & \text{für } x < 0
\end{cases}$$
[/mm]
sowie
$$ [mm] f_y [/mm] = [mm] \begin{cases}
|x|cos(|y|) & \text{für } y > 0\\
-|x|cos(|y|) & \text{für } y < 0
\end{cases}$$
[/mm]
Den Grenzwert würde ich dann wie folgt ausrechnen.
[mm] $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(x-x_0)}{||(x-x_0,y-y_0)||}= \frac{f(x_0,y_0)-f(x_0,y_0) - 0*(x-x_0) - 0*(x-x_0)}{||0,0||}$$
[/mm]
Dabei habe ich für [mm] $f_x(x_0,y_0)$ [/mm] einfac die Werte [mm] $f_x(0,0) [/mm] = [mm] f_y(0,0)= [/mm] 0$ eingesetzt.
und nu? steht da ja [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
> Dann siehst Du:
>
> [mm]\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(x-x_0)}{||(x-x_0,y-y_0)||}= 0[/mm]
nein das sehe ich leider (noch) nicht!
gruß
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mo 21.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Berechne doch mal
> > [mm]f_x(x_0,y_0)[/mm] und [mm]f_y(x_0,y_0).[/mm]
>
> Nun, für [mm]x_0 =y_0 = 0[/mm] habe ich das ja bereits oben
> gemacht:
>
> [mm]f_x(0,0) = 0 \; , f_y(0,0) = 0[/mm]
>
> Allgemein ist
>
> [mm][/mm][mm] f_x[/mm] = [mm]\begin{cases}
sin(|y|) & \text{für } x > 0\\
-sin(|y|) & \text{für } x < 0
\end{cases}[/mm][mm][/mm]
>
> sowie
> [mm][/mm] [mm]f_y[/mm] = [mm]\begin{cases}
|x|cos(|y|) & \text{für } y > 0\\
-|x|cos(|y|) & \text{für } y < 0
\end{cases}[/mm][mm][/mm]
>
>
> Den Grenzwert würde ich dann wie folgt ausrechnen.
>
> [mm]\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(x-x_0)}{||(x-x_0,y-y_0)||}= \frac{f(x_0,y_0)-f(x_0,y_0) - 0*(x-x_0) - 0*(x-x_0)}{||0,0||}[/mm]
Nein, das steht da nicht !! Es bleibt:
[mm] $\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0) - 0*(x-x_0) - 0*(y-y_0)}{||(x,y)||} [/mm] = [mm] \frac{f(x,y)}{||(x,y)||} [/mm] $
FRED
>
> Dabei habe ich für [mm]f_x(x_0,y_0)[/mm] einfac die Werte [mm]f_x(0,0) = f_y(0,0)= 0[/mm]
> eingesetzt.
>
> und nu? steht da ja [mm]\frac{0}{0}[/mm]
>
>
>
> > Dann siehst Du:
> >
> > [mm]\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(x-x_0)}{||(x-x_0,y-y_0)||}= 0[/mm]
>
> nein das sehe ich leider (noch) nicht!
>
> gruß
>
> Thomas
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