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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - taylorpolynom
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taylorpolynom: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Mo 21.05.2012
Autor: barneydlx

Aufgabe
[mm] f(x,y)=4x^{2}+2y^{2}-34=0 [/mm]

entwickeln si y=f(x) ohne explizite auflösung von f(x,y)=0 an der stelle [mm] x_{0}=2 [/mm] in ein talorpolynom 2ter ordnung.

ich würde dies so lösen [mm] y=\wurzel{17-2x^{2}} [/mm]
demnach und dann das taylorpolynom ausgerechnet aber irgendwie kommt mir dabei etwas faul vor....

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo barneydix,


> [mm]f(x,y)=4x^{2}+2y^{2}-34=0[/mm]
>  
> entwickeln si y=f(x) ohne explizite auflösung von f(x,y)=0
> an der stelle [mm]x_{0}=2[/mm] in ein talorpolynom 2ter ordnung.
>  ich würde dies so lösen [mm]y=\wurzel{17-2x^{2}}[/mm]
> demnach und dann das taylorpolynom ausgerechnet aber
> irgendwie kommt mir dabei etwas faul vor....
>  


Das ist doch schon explizit aufgelöst.

Der Weg ist zunächst y=y(x) zu setzen
und die dann entstehende Gleichung zweimal zu differenzieren
und jeweils die Werte an der Stelle [mm]x_{0}=2[/mm] zu bestimmen.


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Mo 21.05.2012
Autor: barneydlx

vielen dank für die antwort!aber ich bin mir nicht so gnaz sicher was du meinst aber ich nehme an ich soll [mm] y(x)=\wurzel{17-2x^{2}} [/mm] differenzieren oder wie?!?!

Bezug
                        
Bezug
taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo barneydix,

> vielen dank für die antwort!aber ich bin mir nicht so gnaz
> sicher was du meinst aber ich nehme an ich soll
> [mm]y(x)=\wurzel{17-2x^{2}}[/mm] differenzieren oder wie?!?!


Nein.

In der Gleichung f(x,y)=0 sollst Du zunächst y durch y(x) ersetzen:

[mm]4x^{2}+2\blue{y^{2}\left(x\right)}-34=0[/mm]

Diese ist dann zweimal zu differenzieren
und die Werte [mm]y\left(2\right), \ y'\left(2}\right), \ y''\left(2}\right)[/mm] zu ermitteln.

Diese Werte setzt Du dann in das Taylorpolynom ein:

[mm]T_{2}\left(x\right)=y\left(2\right)+y'\left(2\right)*\left(x-2\right)+\bruch{y''\left(2\right)}{2}\left(x-2\right)^{2}[/mm]


Gruss
MathePower



Bezug
                                
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taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Mo 21.05.2012
Autor: barneydlx

vielen dank für diesen hinweis eine frage noch und dann sollte auch ich es verstanden haben.
die erste ableitung ist 8x+4y(x)y'(x)=0 =>f'(x)=2x/y
und die zweite [mm] f''(x)=-2x/y^2 [/mm]
aber was soll ich dan für x und y einsetzen?

Bezug
                                        
Bezug
taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo barneydix,

> vielen dank für diesen hinweis eine frage noch und dann
> sollte auch ich es verstanden haben.
> die erste ableitung ist 8x+4y(x)y'(x)=0 =>f'(x)=2x/y


Richtig.


>  und die zweite [mm]f''(x)=-2x/y^2[/mm]


Differenziere die oben genannte Gleichung erneut:

[mm]\left( \ 8x+4y(x)y'(x) \ \right)'=0[/mm]


>  aber was soll ich dan für x und y einsetzen?


Nun für x setzt zu 2 ein.
y ist der aus der ersten Gleichung ermittelte Wert für x=2.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
taylorpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:15 Mo 21.05.2012
Autor: barneydlx

vielen dank für deine schnellen und aufschlussreichen antworten!

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