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hallo!
ich weiß, es ist egtl. ein bisschen zu spät, noch mit einer farge zu kommen, aber ich bin gerade am ende meiner facharbeit über taylor-polynome angekommen und stehe nun vor dem problem, der inpliziten anweisung meines lehrers nachzukommen.
er sagte, ich solle erläutern, warum das taylor-polynom die beste näherung auf basis eines polynoms zu einer punktion sei.
dazu habe ich materiula bekommen, dass beweißt, dass eine tangente die beste lineare annäherung ist (was auch einem taylor-p. mit dem grad n=1 entspricht).
wie könnte ich nun den bogen zu meiner fragestellung, warum das t-p. nun in jedem (nicht nur linearen) fall die beste näherung darstellt?
viellicht kennt jemand ein fallbeipiel, in dem eine approximation mithilfes des taylor-polynoms nicht angebracht ist?
ich bin für jede mühe und hilfe dankbar!
viele grüße
sarah
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mo 14.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich weiß, es ist egtl. ein bisschen zu spät, noch mit
> einer farge zu kommen, aber ich bin gerade am ende meiner
> facharbeit über taylor-polynome angekommen und stehe nun
> vor dem problem, der inpliziten anweisung meines lehrers
> nachzukommen.
> er sagte, ich solle erläutern, warum das taylor-polynom
> die beste näherung auf basis eines polynoms zu einer
> punktion sei.
> dazu habe ich materiula bekommen, dass beweißt, dass eine
> tangente die beste lineare annäherung ist (was auch einem
> taylor-p. mit dem grad n=1 entspricht).
> wie könnte ich nun den bogen zu meiner fragestellung,
> warum das t-p. nun in jedem (nicht nur linearen) fall die
> beste näherung darstellt?
Ich kenn ja dein Material nicht, aber das 2. Taylorpolynom ist fuer die funktion f' wieder das 1. Taylorpolynom. Aber es ist sehr unklar was es heisst, das Beste Naeherungspolynom zu sein.
Man muss diskutieren, ob man Werte, die sehr in der Naehe des Entwicklungspunktes sind moeglichst genau haben will, oder die Funktion in ihrem weiteren Verlauf moeglichst genau kennen will. Ein bekanntes Beispiel wo "gut" oder "bestes" ziemlich sinnlos ist ist [mm] f(x)=e^-\bruch{1}{x^{2}}.
[/mm]
bei Null nicht definiert aber leicht durch f(0)=0 stetig zu ergaenzen. Dann sind alle Ableitungen bei 0 0, d.h. jedes Taylorpolynom noch so hohen Grades ist [mm] P_{n}(x)=0! [/mm] Ist das eine gute Naeherung oder nicht?
In manchen Faellen ist das Polynom,das durch einige Punkte geht besser. Viele rational Fkt. (Zaeler und Nenner Polynom werden nur auf kleinen Stuecken gut angenaehert. Schoen waer ein Programm in dem du Funktionen und die entsprechenden Taylorpollynome plottest, und mit Naeherungen durch einige Punkte vergleichst. sin(x), Taylorpolynom um 0 ,2. oder 3.dazu Polynom durch 3 oder 4 bekannte Punkte.
Allerdings kennt man einige Funktionen, von denen an einer Stelle Funktionswert und Ableitungen leicht zu berechnen sind, andere Stellen dagegen schwer. Beispiel [mm] e^{x}, [/mm] bei x=0 alle Ableitungen bekannt=1 alle anderen Stellen nicht. Damit kann man z.Bsp [mm] e=e^{1} [/mm] berechnen!
Ich hoff das hilft weiter
Gruss leduart
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> viellicht kennt jemand ein fallbeipiel, in dem eine
> approximation mithilfes des taylor-polynoms nicht
> angebracht ist?
> ich bin für jede mühe und hilfe dankbar!
>
> viele grüße
> sarah
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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