symmetrische Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
[mm] Sym_n [/mm] sei der Raum symmetrischer Matrizen, der Unterraum [mm] Sym_n^+ [/mm] der Raum positiv semi-def. Matrizen. Die Behauptung ist, dass dieser Raum eine konvexe Menge ist. Hierzu hab ich erstmal eine Frage. Nach Definition ist ja eine Menge konvex, wenn mit 2 Punkten aus der Menge auch die "verbindungsgerade" in der Menge liegt, so grob gesprochen :)
In Formeln: C konvex [mm] \gdw \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] C gilt: [mm] \lambda [/mm] x + (1 - [mm] \lambda) [/mm] y [mm] \in [/mm] C [mm] (\lambda \in[0,1]).
[/mm]
Wie lautet diese Definition nun für Matrizen?
Anscheinend kann man das dann mit Hilfe der Eigenwert und dem Rayleighquotienten ( [mm] \lambda_{min} \leq \frac{x^TAx}{x^tx} \leq \lambda_{max}, [/mm] A hermitesch) zeigen.
D.h ich muss mir zwei beliebige Matrizen aus [mm] Sym_n^+ [/mm] nehmen und zeigen dass die Linearkombination (?) von ihnen auch drin ist?
Also dass [mm] \lambda [/mm] X + (1 - [mm] \lambda) [/mm] Y [mm] \in Sym_n^+ [/mm] , oder muss ich da jeweils die EInheitsmatrix zu dem [mm] \lambda [/mm] schreiben? Und wie bau ich dann die EIgenwerte ein....?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Sa 23.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo,
> [mm]Sym_n[/mm] sei der Raum symmetrischer Matrizen, der Unterraum
> [mm]Sym_n^+[/mm] der Raum positiv semi-def. Matrizen. Die Behauptung
> ist, dass dieser Raum eine konvexe Menge ist. Hierzu hab
> ich erstmal eine Frage. Nach Definition ist ja eine Menge
> konvex, wenn mit 2 Punkten aus der Menge auch die
> "verbindungsgerade" in der Menge liegt, so grob gesprochen
> :)
> In Formeln: C konvex [mm]\gdw \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] C gilt: [mm]\lambda[/mm]
> x + (1 - [mm]\lambda)[/mm] y [mm]\in[/mm] C [mm](\lambda \in[0,1]).[/mm]
> Wie lautet
> diese Definition nun für Matrizen?
Ganz genauso: die Menge [mm]\mathrm{Sym}_n^+[/mm] ist konvex, wenn für jedes Paar [mm] $X,Y\in \mathrm{Sym}_n^+$ [/mm] gilt: [mm] $\mu [/mm] X [mm] +(1-\mu)Y \in \mathrm{Sym}_n^+$ [/mm] .
> Anscheinend kann man das dann mit Hilfe der Eigenwert und
> dem Rayleighquotienten ( [mm]\lambda_{min} \leq \frac{x^TAx}{x^tx} \leq \lambda_{max},[/mm]
> A hermitesch) zeigen.
>
> D.h ich muss mir zwei beliebige Matrizen aus [mm]Sym_n^+[/mm] nehmen
> und zeigen dass die Linearkombination (?) von ihnen auch
> drin ist?
> Also dass [mm]\lambda[/mm] X + (1 - [mm]\lambda)[/mm] Y [mm]\in Sym_n^+[/mm] , oder
> muss ich da jeweils die EInheitsmatrix zu dem [mm]\lambda[/mm]
> schreiben? Und wie bau ich dann die EIgenwerte ein....?
Das ist der richtige Ansatz. Jetzt rechnest du den Rayleigh-Quotienten der Matrix
$ M = [mm] \mu [/mm] X [mm] +(1-\mu)Y [/mm] $
per Linearität aus und benutzt, dass (a) alle Eigenwerte von X und Y [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, (b) [mm] $0\le \mu,(1-\mu)\le [/mm] 1$ sind.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Hilfe.
Ich hab nun den Rayleigh-Quotienten berechnet:
[mm] \frac{x^TMx}{x^Tx} [/mm] = [mm] \mu \frac{x^TXx}{x^Tx} [/mm] + [mm] (1-\mu) \frac{x^TYx}{x^Tx}
[/mm]
Jetzt müsste ich daraus schließen, dass M nur Eigenwerte [mm] \geq [/mm] 0 hat und damit positiv semidefinit ist, richtig?
Allerdings hakt's bei dem Schluss noch. Ich weiß also dass der Rayleighquotient von X und Y [mm] \geq [/mm] 0 , sowie [mm] \mu [/mm] und [mm] (1-\mu), [/mm] also dass der Rayleighquotient von M auch [mm] \geq [/mm] 0 ist.
Aber [mm] \lambda_{min} [/mm] von M könnte doch trotzdem negativ sein?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Sa 23.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für deine Hilfe.
> Ich hab nun den Rayleigh-Quotienten berechnet:
>
> [mm]\frac{x^TMx}{x^Tx}[/mm] = [mm]\mu \frac{x^TXx}{x^Tx}[/mm] + [mm](1-\mu) \frac{x^TYx}{x^Tx}[/mm]
>
> Jetzt müsste ich daraus schließen, dass M nur Eigenwerte
> [mm]\geq[/mm] 0 hat und damit positiv semidefinit ist, richtig?
>
> Allerdings hakt's bei dem Schluss noch. Ich weiß also dass
> der Rayleighquotient von X und Y [mm]\geq[/mm] 0 , sowie [mm]\mu[/mm] und
> [mm](1-\mu),[/mm] also dass der Rayleighquotient von M auch [mm]\geq[/mm] 0
> ist.
> Aber [mm]\lambda_{min}[/mm] von M könnte doch trotzdem negativ
> sein?
Aber gilt denn nicht, dass
$ [mm] \min_{x} \frac{x^TMx}{x^Tx} [/mm] = [mm] \lambda_{\text{min}} [/mm] $
ist, und dass das Minimum angenommen wird, wenn x der Eigenvektor zu [mm] $\lambda_{\text{min}} [/mm] $ ist?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
achso, d.h. es genügt zu zeigen, dass der Rayleighquotient von M [mm] \geq [/mm] 0 ?
Also ist die Aufgabe so schon ganz gelöst?
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe |
(ii) [mm] Sym_{2} [/mm] kann durch folgende Isometrie in den [mm] R^3 [/mm] eingebettet werden:
[mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} } \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(2a_{12},a_{11} [/mm] - [mm] a_{22}, a_{11}+a_{22})^T
[/mm]
Betrachte nun das Bild von [mm] Sym_2^+ [/mm] unter dieser Abbildung.
"Describe the subset of [mm] R^3 [/mm] onto which the matrices [mm] Sym_2^+ [/mm] are mapped." |
Hallo nochmal,
ich hab die Aufgabe mal in diesen Thread gepostet, weil sie wohl zu der andren gehört. Wie kann ich diesen Unterraum beschreiben? Was ist mit "describe" gemeint? Durch den Aufgabenteil vorher würde ich mal vermuten, man soll zeigen dass das dann ein "convex set" ist? ... oder hat das was mit Normen zu tun?
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
>
> (ii) [mm]Sym_{2}[/mm] kann durch folgende Isometrie in den [mm]R^3[/mm]
> eingebettet werden:
>
> [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} } \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(2a_{12},a_{11}[/mm]
> - [mm]a_{22}, a_{11}+a_{22})^T[/mm]
>
> Betrachte nun das Bild von [mm]Sym_2^+[/mm] unter dieser Abbildung.
> "Describe the subset of [mm]R^3[/mm] onto which the matrices
> [mm]Sym_2^+[/mm] are mapped."
> Hallo nochmal,
> ich hab die Aufgabe mal in diesen Thread gepostet, weil
> sie wohl zu der andren gehört. Wie kann ich diesen
> Unterraum beschreiben? Was ist mit "describe" gemeint?
> Durch den Aufgabenteil vorher würde ich mal vermuten, man
> soll zeigen dass das dann ein "convex set" ist? ... oder
> hat das was mit Normen zu tun?
Ich würde erst einmal eine Bedingung an die [mm] $a_{ij}$ [/mm] formulieren und daraus eine Bedingung für die entsprechenden Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] herleiten.
Tipp: der Rand der Teilmenge ist eine algebraische Fläche.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 24.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
hmm, was meinst du mit Bedingung, woraus kann ich sie herleiten?
Ist der Rand der Menge eine Kegelfläche? Aber was ist genau der "Rand" der Menge? Ah, also ich hab grad bei Wiki gelesen, dass die Menge aller positiv semidefiniten Matrizen im Vektorraum der symmetrischen Matrizen ein Kegel ist. Und dann würden die symm pos.semidef Matrizen den Punkten des Kegels entsprechen, also
[mm] \{a=(a_1,a_2,a_3)^2 \in R^3: \| (a_1,a_2)^T\|_2 \leq a_3 \} [/mm] ?
und das ist dann die gesuchte Beschreibung der Menge?
Nur wie kann ich das zeigen? bzw wie würde ich da draufkommen ohne es gelesen zu haben?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
>
> hmm, was meinst du mit Bedingung, woraus kann ich sie
> herleiten?
Für beliebige reelle Zahlen [mm] $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{21}$, $a_{22}$ [/mm] ist deine Matrix doch nicht postiv semidefinit. Welche Bedingung müssen die vier Zahlen erfüllen?
>
> Ist der Rand der Menge eine Kegelfläche? Aber was ist genau
> der "Rand" der Menge? Ah, also ich hab grad bei Wiki
> gelesen, dass die Menge aller positiv semidefiniten
> Matrizen im Vektorraum der symmetrischen Matrizen ein Kegel
> ist. Und dann würden die symm pos.semidef Matrizen den
> Punkten des Kegels entsprechen, also
>
> [mm]\{a=(a_1,a_2,a_3)^2 \in R^3: \| (a_1,a_2)^T\|_2 \leq a_3 \}[/mm]
> ?
>
> und das ist dann die gesuchte Beschreibung der Menge?
Ja, fast: es ist ein Doppelkegel.
> Nur wie kann ich das zeigen? bzw wie würde ich da
> draufkommen ohne es gelesen zu haben?
Du hast doch: im [mm] $\IR^3$: $(a_1,a_2,a_3)^T$ [/mm] als Funktion der [mm] $a_{ij}$. [/mm] Kehr das um und setze in die Beziehung für die [mm] $a_{ij}$ [/mm] ein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 24.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
damit A semi pos.def. ist muss gelten:
[mm] x^T [/mm] A x [mm] \geq [/mm] 0,
d.h. [mm] a_{11}x_1^2 [/mm] + [mm] a_{12} x_1 x_2 [/mm] + [mm] a_{12}x_1x_2 [/mm] + [mm] a_{22} x_2^2 \geq [/mm] 0,
also [mm] a_{11}x_1^2 [/mm] + 2 [mm] x_1 x_2 a_{12} [/mm] + [mm] a_{22} x_2^2 \geq [/mm] 0 ?
Aber ist das die Bedingung die du gemeint hast?
Für die Umkehrung muss ich die [mm] a_{11}, a_{12}, a_{22} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] haben, also
[mm] a_{11} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2}}{2} (a_2 [/mm] + [mm] a_3), a_{12} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2}}{2} a_1 [/mm] und [mm] a_{22} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2}}{2} (a_3 [/mm] - [mm] a_2) [/mm] ?
Nur wenn ich das jetzt da oben einsetze, seh ich nicht was das bringt?
Was ist mit den [mm] x_i [/mm] ?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
>
> damit A semi pos.def. ist muss gelten:
>
> [mm]x^T[/mm] A x [mm]\geq[/mm] 0,
>
> d.h. [mm]a_{11}x_1^2[/mm] + [mm]a_{12} x_1 x_2[/mm] + [mm]a_{12}x_1x_2[/mm] + [mm]a_{22} x_2^2 \geq[/mm]
> 0,
>
> also [mm]a_{11}x_1^2[/mm] + 2 [mm]x_1 x_2 a_{12}[/mm] + [mm]a_{22} x_2^2 \geq[/mm] 0
> ?
>
> Aber ist das die Bedingung die du gemeint hast?
Nein 
Die Bedingung, wie du sie hingeschreiben hast, gilt für beliebige [mm] $x_1$, $x_2$, [/mm] das ist unpraktisch. Du brauchst eine Bedingung, in der nur die [mm] $a_{ij}$ [/mm] vorkommen. Zum Beispiel ist das Produkt aller Eigenwerte gleich der Determinante. Bei einer 2x2 Matrix kannst du die Eigenwerte einfach direkt durch die [mm] $a_{ij}$ [/mm] ausdrücken. Was folgt aus der Tatsache, dass alle Eigenwerte [mm] $\ge0$ [/mm] sind?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 24.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
> Zum Beispiel ist das Produkt aller Eigenwerte gleich der Determinante.
Kann man dann nicht einfach sagen, dass det(A) = [mm] \lambda_1 \cdot \lambda_2 \geq [/mm] 0
also [mm] a_{11} \dot a_{22} [/mm] - [mm] a_{12}^2 \geq [/mm] 0, d.h. die Bedingung wäre [mm] a_{11} \cdot a_{22} \geq a_{12}^2 [/mm] ?
> Bei einer 2x2 Matrix kannst du die Eigenwerte einfach
> direkt durch die [mm]a_{ij}[/mm] ausdrücken.
hm, ich glaub ich mach das wieder viel zu kompliziert, gibt es da auch einen einfacheren Weg als stur nach der Methode det(A - [mm] \lambda [/mm] I) die EW zu berechnen...?
Viele Grüße.
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
>
> > Zum Beispiel ist das Produkt aller Eigenwerte gleich der
> Determinante.
>
> Kann man dann nicht einfach sagen, dass det(A) = [mm]\lambda_1 \cdot \lambda_2 \geq[/mm]
> 0
>
> also [mm]a_{11} \cdot a_{22}[/mm] - [mm]a_{12}^2 \geq[/mm] 0, d.h. die
> Bedingung wäre [mm]a_{11} \cdot a_{22} \geq a_{12}^2[/mm] ?
Ja, darauf wollte ich hinaus. Und jetzt drücke das als Bedingung für die drei Komponenten im [mm] $\IR^3$ [/mm] aus, und du hast deinen Kegel.
> > Bei einer 2x2 Matrix kannst du die Eigenwerte einfach
> > direkt durch die [mm]a_{ij}[/mm] ausdrücken.
>
> hm, ich glaub ich mach das wieder viel zu kompliziert, gibt
> es da auch einen einfacheren Weg als stur nach der Methode
> det(A - [mm]\lambda[/mm] I) die EW zu berechnen...?
Ach, so schlimm ist das gar nicht, du hast die PQ-Formel mit [mm] $p=-(a_{11}+a_{22}$ [/mm] und [mm] $q=\det(A)$.
[/mm]
Viele Grüße.
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
> > Bedingung wäre [mm]a_{11} \cdot a_{22} \geq a_{12}^2[/mm] ?
>
> Ja, darauf wollte ich hinaus. Und jetzt drücke das als
> Bedingung für die drei Komponenten im [mm]\IR^3[/mm] aus, und du
> hast deinen Kegel.
ok, ich hab nun folgendes:
[mm] \frac{1}{2} (a_2^2 [/mm] - [mm] a_3^2) \geq \frac{1}{2} a_1^2,
[/mm]
d.h. [mm] a_3^2 [/mm] + [mm] a_2^2 \leq a_1^2
[/mm]
Ich hab grad mal gegoogelt um eine allgemeine Kegelgleichung zu finden, so etwas wie [mm] z^2 [/mm] = [mm] \frac{H^2}{R^2} (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] ?
Also kann ich aus der Ungleichung oben schließen, dass das Bild der [mm] Sym_2^{+} [/mm] - Menge einen Kegel bildet. Aber woran seh ich dass es ein Doppelkegel ist wie du am Anfang geschrieben hast?
> Ach, so schlimm ist das gar nicht, du hast die PQ-Formel
> mit [mm]p=-(a_{11}+a_{22}[/mm] und [mm]q=\det(A)[/mm].
Für was muss ich die EW hier explizit ausrechnen'?
Ich hab dann
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (a_{11} [/mm] + [mm] a_{22}) [/mm] +/- [mm] \sqrt{\frac{(a_{11}+a_{22})^2}{4} - det(A)} [/mm] - das find ich keinen so schönen Ausdruck...?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 25.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
> > > Bedingung wäre [mm]a_{11} \cdot a_{22} \geq a_{12}^2[/mm] ?
> >
> > Ja, darauf wollte ich hinaus. Und jetzt drücke das als
> > Bedingung für die drei Komponenten im [mm]\IR^3[/mm] aus, und du
> > hast deinen Kegel.
>
>
> ok, ich hab nun folgendes:
> [mm]\frac{1}{2} (a_2^2[/mm] - [mm]a_3^2) \geq \frac{1}{2} a_1^2,[/mm]
Nicht $ [mm] \frac{1}{2} (a_3^2 [/mm] - [mm] a_2^2) \geq \frac{1}{2} a_1^2$ [/mm] ?
> d.h. [mm]a_3^2[/mm] + [mm]a_2^2 \leq a_1^2[/mm]
[mm] $a_1^2+a_2^2 \le a_3^2 [/mm] $
> Ich hab grad mal gegoogelt um eine allgemeine
> Kegelgleichung zu finden, so etwas wie [mm]z^2[/mm] =
> [mm]\frac{H^2}{R^2} (x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] ?
> Also kann ich aus der Ungleichung oben schließen, dass das
> Bild der [mm]Sym_2^{+}[/mm] - Menge einen Kegel bildet. Aber woran
> seh ich dass es ein Doppelkegel ist wie du am Anfang
> geschrieben hast?
Daran, dass du in dieser Ungleichung das Vorzeichen von [mm] $a_3$ [/mm] umdrehen kannst, ohne dass sich etwas ändert. Dem entspricht die Spiegelung an der [mm] $a_1a_2$-Ebene.
[/mm]
Ich habe mich aber geirrt, es ist nämlich nur ein einfacher Kegel, weil außerdem [mm] $a_3\ge [/mm] 0$ gilt (siehe unten).
Das es ein Kegel ist, siehst du folgendermaßen: die Ungleichung [mm] $a_1^2+a_2^2 \le a_3^2 [/mm] $ ist invariant bei Rotationen um die [mm] $a_3$-Achse, [/mm] also muss die Punktmenge auch rotationssymmetrisch sein. Man kann sich also einen Schnitt anschauen und den rotieren. Ich wähle den Schnit mit der [mm] $a_2a_3$-Ebene, [/mm] gegeben durch [mm] $a_1=0$. [/mm] In dieser Ebene wird die Ungleichung zu [mm] $a_2^2\le a_3^2 \gdw -|a_3|\le a_2\le +|a_3| [/mm] $. Das sind die Punkte zwischen den beiden Winkelhalbierenden [mm] $a_3=-a_2$ [/mm] und [mm] $a_3=+a_2$. [/mm] Durch Rotation um die [mm] $a_3$-Achse [/mm] entsteht ein Doppelkegel.
> > Ach, so schlimm ist das gar nicht, du hast die PQ-Formel
> > mit [mm]p=-(a_{11}+a_{22}[/mm] und [mm]q=\det(A)[/mm].
>
> Für was muss ich die EW hier explizit ausrechnen'?
> Ich hab dann
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\frac{1}{2} (a_{11}[/mm] + [mm]a_{22})[/mm] +/-
> [mm]\sqrt{\frac{(a_{11}+a_{22})^2}{4} - det(A)}[/mm] - das find ich
> keinen so schönen Ausdruck...?
Schöner wird's, wenn du unter der Wurzel ausmultiplizierst:
$ [mm] \frac{(a_{11}+a_{22})^2}{4} [/mm] - [mm] \det(A) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} (a_{11}^2+a_{22}^{2} [/mm] +2 [mm] a_{11}a_{22} [/mm] - 4 [mm] a_{11}a_{22} [/mm] + 4 [mm] a_{12}^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} ((a_{11}-a_{22})^2+4 a_{12}^2) [/mm] $
Daran siehst du schon mal, dass der Radikand nichtnegativ ist, also die Eigenwerte reell sind. Außerdem ist die Wurzel betragsmäßig kleiner als [mm] $\frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})$, [/mm] woraus weiter folgt, dass [mm] $a_{11}+a_{22}\ge [/mm] 0$ ist (sonst sind die Eigenwerte negativ). Letzteres ist die Zusatzbedingung, die ich oben meinte, denn das ist äquivalent zu [mm] $a_3\ge0$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Do 28.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
> Nicht [mm]\frac{1}{2} (a_3^2 - a_2^2) \geq \frac{1}{2} a_1^2[/mm] ?
ja, ich habs nochmal durchgerechnet, hab das jetzt auch raus, thx!
Sorry, hab doch noch zwei kleine Rückfragen...
Vielen Dank für deine Erkläung mit dem Kegel. Versteh ich das richtig, dass die Ungleichung eigentlich ein Doppelkegel beschreibt, aber dadurch dass [mm] a_3 \geq [/mm] 0, ist es doch "nur" ein Kegel?
> Wurzel betragsmäßig kleiner als [mm]\frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})[/mm],
Wie seh ich das, dass die Wurzel betragsmäßig kleiner ist?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 28.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> > Nicht [mm]\frac{1}{2} (a_3^2 - a_2^2) \geq \frac{1}{2} a_1^2[/mm] ?
> ja, ich habs nochmal durchgerechnet, hab das jetzt auch
> raus, thx!
>
> Sorry, hab doch noch zwei kleine Rückfragen...
> Vielen Dank für deine Erkläung mit dem Kegel. Versteh ich
> das richtig, dass die Ungleichung eigentlich ein
> Doppelkegel beschreibt, aber dadurch dass [mm]a_3 \geq[/mm] 0, ist
> es doch "nur" ein Kegel?
Genau!
> > Wurzel betragsmäßig kleiner als [mm]\frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})[/mm],
>
> Wie seh ich das, dass die Wurzel betragsmäßig kleiner ist?
Der Radikand ist doch [mm] $\frac{1}{4}(a_{11}+a_{22})^2 -\det(A)$, [/mm] und [mm] $\det(A)\ge [/mm] 0$, also ist der Radikand [mm] $\le \frac{1}{4}(a_{11}+a_{22})^2$ [/mm] (nicht kleiner gleich, sorry), und damit die Wurzel [mm] $\le \frac{1}{2}(a_{11}+a_{22})$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Do 28.02.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ok - dann hab ichs verstanden *freu* Vielen Dank nochmal!
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> achso, d.h. es genügt zu zeigen, dass der Rayleighquotient
> von M [mm]\geq[/mm] 0 ?
> Also ist die Aufgabe so schon ganz gelöst?
Ja, ich denke schon 
Viele Grüße
Rainer
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