symmetrische Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mo 11.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Wieso kann man sagen, dass symmetrische Martrizen immer diagonalisierbar sind.
Ich weiß, dass eine symmetrische Matrix immer reelle Eigenwerte besitzt, aber damit ist doch noch nicht bewiesen, dass die Matrix diagonalsierbar ist.
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Holg!
Meinst du reelle, symmetrische Matrizen? Wenn ja, dann kann ich dir dazu folgendes sagen:
Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $B$ eine Orthonormalbasis von $V$. Dann sind genau diejenigen Abbildungen [mm] $f:V\to [/mm] V$ selbstadjungiert, deren Darstellungsmatrix bezüglich der Orthonormalbasis $B$ symmetrisch sind. Es reicht also zu zeigen, dass jede selbstadjungierte, lineare Abbildung diagonalisierbar ist. Dies folgt relativ unkompliziert sobald man bewiesen hat, dass jede selbstadjungierte, lineare Abbildung wenigstens einen reellen Eigenwert hat. Dies wiederum kannst du über Analysis oder einen Umweg über unitäre Vektorräume machen. Stefan und ich haben dies vor Kurzem hier im Mathematik-Trainigs Forum besprochen, du kannst dort also gerne nachlesen, was ich dir auch empfehlen kann.
So, und nun musst du schon ein wenig konkreter werden, falls du Genaueres wissen möchtest.
Liebe Grüße,
Hanno
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