symmetrische Gruppe S3 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Bitte helft mir bei diesen AUfgaben-ich verstehe gar nichts.
a)Man gebe wenigstens 2 Begründungen an dass die symmetrische Gruppe S3 nicht zyklisch ist
b)Ist die prime Restklassengruppe (( [mm] \IZ/13 \IZ)*,mal)zyklisch?(Begründung)
[/mm]
c)Bestimme alle Untergruppen von (( [mm] \IZ/13 \IZ)*,mal)
[/mm]
mal ist *
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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zu a)
du musst dir vor Augen halten, welche Eigenschaften eine zyklische Gruppe hat, und warum das in der [mm] S_3 [/mm] nicht zutrifft.
zu b)
hattet ihr in der Vorlesung keinen Satz dazu?
zu c)
wie viele Elemente enthält [mm] \IZ_{13}?
[/mm]
welche Untergruppen kann es überhaupt geben?
Zusatz
Wie soll [mm]((\IZ/13\IZ),\cdot)[/mm] aussehen? Ich kenne nur [mm]((\IZ/13\IZ),+)[/mm] oder [mm]((\IZ/13\IZ)^\star,\cdot)[/mm].
Hugo
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a) eigenschaften: assoziativgesetz gilt,existenz eines neutralen elements e und existenz eines inversen elements.
das sind die eigenschaften einer gruppe.aber ob das auch die eigenschaften einer zyklischen gruppe sind weiß ich nicht.weil zyklisch?hatten wir noch nich so ganz.
b) nein zu diesen thema noch nicht
c)warum eigentlich 13 [mm] \IZ [/mm] ? also was soll die 13?
$ [mm] ((\IZ/13\IZ)^\star,\cdot) [/mm] $ ist gemeint
also wie du siehst ist das ganze ziemlich kompliziert für mich.ich hoffe du kannst es mir einfach erklären.
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Hi,
zyklisch heißt, dass die ganze Gruppe durch ein Element [mm]g_0[/mm] erzeugt wird, d.h. für alle Gruppenelemente [mm]g\in G[/mm] gilt: [mm] \exists n\in\IN:g_0^n=g[/mm].
[/mm]
Gibt es in der [mm]S_3[/mm] ein Element, so dass man durch mehrfaches Multiplizieren zu allen anderen Elementen der [mm]S_3[/mm] kommt? Dazu kannst du dich fragen (wenn du den Begriff der Ordnung eines Elementes kennst): Die [mm]S_3[/mm] besitzt 6 Elemente, also brauchst du ein erzeugendes Element, das ebenfalls die Ordnung 6 hat. Kann es in der [mm]S_3[/mm] ein solches geben? Nein. Warum nicht?
Zur Frage mit den [mm]13\IZ[/mm].
Du kennst noch aus der Grundschule das Dividieren mit Rest. Die Gruppe [mm]\IZ/13\IZ[/mm] ist die Gruppe die entsteht, wenn man statt mit den ganzen Zahlen nur noch mit den zugehörigen Resten bei Division durch 13 rechnet. Also ist 4+5=9 und 6+8=14=1.
Exakt formuliert befinden wir uns in der Gruppe [mm][mm] (\IZ/13\IZ,+), [/mm] also in der additiven Gruppe der Zahlen von 0 bis 12, wobei dann 13=0.
Bei dir geht es um die multiplikative Gruppe der Ziffern von 1 bis 12. Der Stern bedeutet, dass man die Null ausgeschlossen hat (weil die Null ja bezüglich der Multiplikation kein Inverses besitzt).
Es gibt also 12 Elemente. Untergruppen können als Mächtigkeit nur Teiler von 12 haben, also 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Die Gruppe der Mächtigkeit 1 ist die triviale Gruppe {1}, die Gruppe der Mächtigkeit 12 ist die gesamte Gruppe. Du musst jetzt noch Gruppen der Ordnungen 2, 3, 4, 6 finden (es kann von einer Zahl mehrere geben, von einer Zahl auch gar keine), die in [mm]((\IZ/13\IZ)^\star,\cdot)[/mm] enthalten sind.
Ich hoffe, du kommst jetzt ein bisschen besser zurecht. Erkundige dich doch mal bei deinen Studienkollegen, was die sich denken.
Hugo
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