symmetrische Differenz Beweis < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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#### Lösung durch Aussagenlogik geschafft. ;)
#### (p not [mm] \gdw [/mm] q) not [mm] \gdw [/mm] r = p not [mm] \gdw [/mm] (q not [mm] \gdw [/mm] r)
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Hallo liebe Community,
Aufgabegabe: A [mm] \Delta [/mm] B := [mm] (A\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] A)
(i) [mm] (A\Delta B)\Delta [/mm] C = [mm] A\Delta(B\Delta [/mm] C)
So, zu (i) habe ich zwar einen Beweis gefunden, den ich auch verstehe.
![[]](/images/popup.gif) Beweisarchiv Mengenlehre Aber die gehen davon aus, dass
[mm] (A\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] A) = [mm] (A\cup B)\setminus(B\cap [/mm] A)
Das müsste ich ja auch beweisen, dazu habe ich folgendes.
[ x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B ] [mm] \vee [/mm] [ x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A ]
=> [ x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B ] [mm] \wedge [/mm] [ x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A ] [mm] \wedge [/mm] [ x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B ] [mm] \wedge [/mm] [ [mm] x\not\in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A ]
=> x [mm] \in [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ... hier fehlt mir der Trick...
Bin für jede Hilfe dankbar.
mfg
oktollber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
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> #### Lösung durch Aussagenlogik geschafft. ;)
> #### (p not [mm]\gdw[/mm] q) not [mm]\gdw[/mm] r = p not [mm]\gdw[/mm] (q not [mm]\gdw[/mm]
> r)
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> Hallo liebe Community,
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> Aufgabegabe: A [mm]\Delta[/mm] B := [mm](A\setminus B)\cup(B\setminus[/mm]
> A)
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> (i) [mm](A\Delta B)\Delta[/mm] C = [mm]A\Delta(B\Delta[/mm] C)
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> So, zu (i) habe ich zwar einen Beweis gefunden, den ich
> auch verstehe.
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> Beweisarchiv Mengenlehre
> Aber die gehen davon aus, dass
> [mm](A\setminus B)\cup(B\setminus[/mm] A) = [mm](A\cup B)\setminus(B\cap[/mm]
> A)
> Das müsste ich ja auch beweisen, dazu habe ich
> folgendes.
> [ x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B ] [mm]\vee[/mm] [ x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x
> [mm]\not\in[/mm] A ]
> => [ x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B ] [mm]\wedge[/mm] [ x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x
> [mm]\not\in[/mm] A ] [mm]\wedge[/mm] [ x [mm]\not\in[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B ] [mm]\wedge[/mm] [
> [mm]x\not\in[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A ]
> => x [mm]\in[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] ... hier fehlt mir der
> Trick...
Da verliert man doch den Überblick ....
Wir setzen X:= [mm](A\setminus B)\cup(B\setminus[/mm] A) und Y:= [mm](A\cup B)\setminus(B\cap[/mm] A)
Wir zeigen zuerst: X [mm] \subseteq [/mm] Y:
Sei x [mm] \in [/mm] X.
Fall 1: x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B. Dann ist x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \cap [/mm] A, also x [mm] \in [/mm] Y.
Fall 2: x [mm] \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A . Dann ist x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \cap [/mm] A, also x [mm] \in [/mm] Y.
Jetzt zeigen wir: Y [mm] \subseteq [/mm] X.
Sei x [mm] \in [/mm] Y. Dann ist x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \cap [/mm] A
Fall 1: x [mm] \notin [/mm] B . Dann ist x [mm] \in [/mm] A \ B, und damit x [mm] \in [/mm] X
Fall2: x [mm] \notin [/mm] A . Dann ist x [mm] \in [/mm] B \ A, und damit x [mm] \in [/mm] X
FRED
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> Bin für jede Hilfe dankbar.
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> mfg
> oktollber
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