sym. Gruppe,Permu., Trans. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:30 Di 07.11.2006 | | Autor: | ramok |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für interisierte, bitte nehmt euch die zeit und schaut es euch an ^^, ich bin einfach am verzweifeln mit dieser aufgabe.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe Sn von den beiden Elementen
g = (1,2) und r = (1,2,...,n)
erzeugt wird, d.h jedes Element von Sn lässt sich als endlisches Produkt von g's und r's schreuben.
Zeigen sie hierzu:
(a). Sind e und h enthalten in Sn Permutationen und hat e die Darstellung
e= (a1,1,a1,2....)(a2,1,a2,2....)...(am,1,am2,....)
als Produkt von elmentfremden Zyklen, so hat heh^-1 die darstellung
heh^-1 = (e(a1,1),e(a1,2)...)(h(a,2,1),h(a2,2),....)....(h(am,1),h(am,2),....).
(b). Die Transpositionen (i,i + 1) für 1 kleiner gleich i kleiner gleich n -1 liegen im Erzeugnis von e und r.
(c). Alle Transpositionen liegen im Erzeugnis von g und r.
(d). Jede Permutation e enthalten in Sn lässt sich als Produkt von Zykeln schreiben.
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Die aufgabe a.) scheint wohl generell die "Masteraufgabe" zu sein.
In unserer gruppe hat keiner zu dieser aufgabe irgendeine idee.
Kann sich bitte jemand die mühe machen und einen lösungsweg oder möglischerweise eine lösung posten, das wäre sehr nett!
Danke im voraus.
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Hallo,
nur die Ruhe  .
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> Aufgabenstellung:
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> Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe Sn von den beiden
> Elementen
> g = (1,2) und r = (1,2,...,n)
>
> erzeugt wird, d.h jedes Element von Sn lässt sich als
> endlisches Produkt von g's und r's schreuben.
>
> Zeigen sie hierzu:
>
> (a). Sind e und h enthalten in Sn Permutationen und hat e
> die Darstellung
> e= (a1,1,a1,2....)(a2,1,a2,2....)...(am,1,am2,....)
> als Produkt von elmentfremden Zyklen, so hat heh^-1
> die darstellung
> heh^-1 =
> (e(a1,1),e(a1,2)...)(h(a,2,1),h(a2,2),....)....(h(am,1),h(am,2),....).
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Ich schätze mal, soweit wart ihr auch schon :
[mm]e=(a_{11}, a_{12}, \ldots) \circ (a_{21}, a_{22}, \ldots) \ldots (a_{m1}, a_{m2}, \ldots)[/mm] Darstellung von $e [mm] \in S_n$. [/mm] Dann reicht es, diese Darstellung nur für eine zyklische Permutation nachzurechnen; denn [mm]heh^{-1}=h(a_{11}, a_{21, \ldots)h^{-1}h(a_{21}, a_{22}, \ldots)h^{-1} \ldots h(a_{m1}, a_{m2}, \ldots)h^{-1}[/mm].
Und nu nimmt man sich eine zyklische Permutation [mm] $(a_1, a_2, \ldots, a_r) \in S_n$ [/mm] und betrachtet die Permutation [mm] $s:=h(a_1, \ldots, a_r)h^{-1}$. [/mm]
Tip: Wie muß man eine Zahl $k, 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ wählen, damit [mm] $h^{-1}(k)$ [/mm] im Zyklus "landet"? Welche Zahlen bleiben durch $s$ unverändert?
So und das isses.
> (b). Die Transpositionen (i,i + 1) für 1 kleiner gleich i
> kleiner gleich n -1 liegen im Erzeugnis von e und r.
>
> (c). Alle Transpositionen liegen im Erzeugnis von g und r.
>
> (d). Jede Permutation e enthalten in Sn lässt sich als
> Produkt von Zykeln schreiben.
>
>
> ----------------------------------------------------------------------------------
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> Die aufgabe a.) scheint wohl generell die "Masteraufgabe"
> zu sein.
Na und was is mit b) - im Moment bin ich da überfragt :-( Aber wenn man b) hat, ist c) leicht.
Hoffe das hilft
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:24 Di 07.11.2006 | | Autor: | ramok |
also danke für deine antwort, aber hier haben sich gerad ein bei leute gefragt was du meinst? Jedenfalls ich habe es nicht verstanden. Das Problem ist ja auch das ich grundsätzlich die Aufgabe nicht verstehe. Kannst du es erklären?
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Hallo,
> also danke für deine antwort, aber hier haben sich gerad
> ein bei leute gefragt was du meinst? Jedenfalls ich habe es
> nicht verstanden. Das Problem ist ja auch das ich
> grundsätzlich die Aufgabe nicht verstehe. Kannst du es
> erklären?
Tja, ich könnte "gezielter" erklären, wenn ich wüßte, was Du/ihr nicht verstanden habt [grübel].
Also: In der Aufgabe soll gezeigt werden: Alle Permutationen (Vertauschungen) von $n$ Elementen lassen sich durch Produkte der Permutationen $(1 2)$ und $(1 2 3 [mm] \ldots [/mm] n)$ "erzeugen"; d.h. egal welche Permutation vorgegeben ist, kann ich durch "verketten" (hintereinanderausführen) dieser Permutationen die gegebene Permutation erhalten. Beispielsweise in [mm] $S_4$:
[/mm]
$(1 2 3 [mm] 4)^2=(1 [/mm] 3)(2 4)$.
Oder $(1 2 3)=(1 2)(1 2 3 4)(1 2)(1 2 3 4)^-1$ ...
Jetzt etwas klarer, was damit gemeint ist?
Nun zu der Umformung der Aufgabenstellung: Zunächst mal hab ich in $heh^-1$ einfach die Darstellung von $e$ eingesetzt; dann zwischen den 1. und 2., 2. und 3., ... bis hin zum vorletzten Term gedanklich die identische Permutation eingefühgt und sie durch $h^-1h$ ersetzt. (Wenn das noch zu unverständlich war, warum ich das so gemacht hab bzw. "machen darf", kann ich das noch erklären). Der Sinn war einfach nur die ganze Geschichte zu reduzieren. Jedenfalls kann ich dann sicher sein, daß sich an den einzelnen Zykluslängen nix ändert, und daß dadurch wirklich eine Darstellung in elementfremden Zyklen entsteht.
Soweit erstmal, eh ich mir noch'n Wolf schreib ; wenn noch Fragen sind meldet euch - weiß ja schließlich nicht wie weit Du/ihr in das schöne Thema "Gruppen" eingestiegen seid.
Mfg
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 09.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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