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supremumsungleichung martingal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Sa 13.04.2013
Autor: hula

Hallöchen!

Wenn ich ein rechtsseitig-stetiges Martingal $M$ habe, mit stetigem Parameter [mm] $t\ge [/mm] 0$, welches beschränkt in [mm] $L^2$ [/mm] ist, i.e. [mm] $\sup_t EM_t^2<\infty$. [/mm] Dann weiss ich, dass [mm] $M_t\to M_\infty$ [/mm] konvergiert. Nun bin ich an folgender Gleichung interssiert:

[mm] $\sup_tEM_t^2=EM_\infty^2$ [/mm]

Die Ungleichung [mm] $"\ge [/mm] "$ ist klar. Ich muss also nur [mm] $"\le [/mm] "$ zeigen. Ich wollte dies so machen:

[mm] $EM_t^2\le E(\sup_tM_t)^2\le 4EM_\infty^2$ [/mm]

wobei ich Doob benutzt habe. Naja, aber irgendwie stört ja diese Konstante, ich möchte ja:

[mm] $EM_t^2\le EM_\infty^2$ [/mm]

dann folgt [mm] $\sup_tEM_t^2\le EM_\infty^2$. [/mm] WIe kann ich also das zeigen?

Grüsschen

hula

        
Bezug
supremumsungleichung martingal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Sa 13.04.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es gilt doch mit Jensen:

[mm] $E\left[M_\infty^2 | \mathcal{F}_t\right] \ge \left(E\left[M_\infty | \mathcal{F}_t\right]\right)^2 [/mm] = [mm] M_t^2$ [/mm]

edit: Trotzdem würde mich mal interessieren, warum [mm] "\ge" [/mm] für dich klar ist :-)

Gruß,
Gono,

Bezug
                
Bezug
supremumsungleichung martingal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Sa 13.04.2013
Autor: hula

Hallo Gono

Danke für deine Hilfe! Zur Ungleichung, welche klar sein sollte: ist das nicht trivial, da wir das Supremum über [mm] $t\ge [/mm] 0$ nehmen? Also  für beliebig grosse $t$'s? Oder wie würde man denn sonst das zeigen?

Gruss

hula

Bezug
                        
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supremumsungleichung martingal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Sa 13.04.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> Danke für deine Hilfe! Zur Ungleichung, welche klar sein sollte: ist das nicht trivial, da wir das Supremum über [mm]t\ge 0[/mm] nehmen? Also  für beliebig grosse [mm]t[/mm]'s? Oder wie würde man denn sonst das zeigen?

die Aussage stimmt schon, so ists nicht, aber dann solltest du das auch zeigen können!

MFG,
Gono.

Bezug
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